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1、一、集合,二、映射,三、函数,1.1 映射与函数,1.集合 集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. 元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.,一、集合,集合的表示 列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 Mx | x具有性质P . 例如M(x, y)| x, y为实数, x2
2、y21.,几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.,子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR.,2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). ABx|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为全集.,提示: 如果研究某
3、个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本集.,集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 ABBA, ABBA; (2)结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)对偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC.,(AB)CACBC的证明,所以(AB)CACBC.,xACBC,xAC且xBC,xABxA且xB,x(AB)C,直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB(x, y)|xA且yB 称为集合A与集合
4、B的直积. 例如, RR(x, y)| xR且yR 即为xOy面上全体点的集合, RR常记作R2.,数集x|axb称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb.,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.,有限区间,上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.,3.区间和邻域,(-, b= x|xb,(-, +)= x| |x|+.,a, +)= x|ax,无限区间,(-, b)= x|xb,(a, +)= x|ax,3.区间和邻域,邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a
5、). 设0, 则称 U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a| 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.,去心邻域,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,定义,y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即yf(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为 Rf , 或f(X), 即 Rf f(X)f(x)|xX.,元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;,集合X称为映射f的定义域, 记作Df
6、 , 即DfX.,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,定义,(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域DfX; 集合Y, 即值域的范围: Rf Y; 对应法则f, 使对每个xX, 有唯一确定的yf(x)与之对应.,需要注意的问题,二、映射,1.映射的概念,设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : XY.,
7、定义,需要注意的问题,(2)对每个xX, 元素x的像y是唯一的; 而对每个yRf, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个子集, 即Rf Y, 不一定RfY .,说明:,Rf 是R的一个真子集. 对于Rf中的元素y, 除y0外, 它的原像不是唯一的. 如y4的原像就有x2和x2两个.,例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0.,例2 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,f 是一个映射, f 的定义域Df
8、X, 值域Rf Y.,说明:,在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间1, 1上.,例1 设 f : RR, 对每个xR, f(x)x2. f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0.,例2 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.,例3,f(x)sin x .,f 1 1 对每个x,f是一个映射 定义域D f 值域R f 1 1,满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf Y
9、, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).,讨论: 下述三个映射各是什么映射？,(1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2.,(2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,满射、单射和双射 设f是从集合X到集合Y的映射. 若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X
10、中任意两个不同元素x1x2, 它们的像f(x1)f(x2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射).,讨论: 下述三个映射各是什么映射？,(3) f 1 1 对每个x f(x)sin x ,2.逆映射与复合映射,设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射g, 即 g : R f X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X .,逆映射,讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？,(
11、1) f : RR, 对每个xR, f(x)x2.,(2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应.,2.逆映射与复合映射,设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个yRf , 有唯一的xX, 适合f(x)y, 于是, 我们可定义一个从Rf 到X的新映射g, 即 g : Rf X, 对每个yRf , 规定g(y)x, 这x满足f(x)y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X .,逆映射,讨论: 下述三个映射是否存在逆映射？,(3) f 1 1 对每个x f(x)sin
12、x ,说明:,映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域Rg必须包含在f的定义域内, RgDf . 否则, 不能构成复合映射.,说明:,映射的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f 也有意义. 即使它们都有意义, f o g与g o f也未必相同.,2.逆映射与复合映射,设有两个映射g : XY1, f : Y2Z, 其中Y1Y2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个xX映射成fg(x)Z. 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: XZ, (f o g)(x)fg(x), x
13、X .,复合映射,例4 设有映射 g : R1, 1, 对每个xR, g(x)sin x,则映射g和f构成复映射f o g: R0, 1, 对每个xR, 有,映射f 1 10 1 对每个u1 1 ,说明:,记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值.,说明:,为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .,说明:,函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等. 但在同一问
14、题中, 不同的函数应选用不同的记号.,三、函数,设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.,1.函数概念,定义,构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,函数的两要素,函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.,函数的定义域,对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义
15、域.,求函数的定义域举例,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD 称为函数yf(x), xD的图形.,函数的表示法,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +), 其值域为Rf =0, + ).,例6,例5
