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1、定义 对于状态i，若正整数集合 非空，则称该集合的最大公约数L为状态i的周期，记作 。若 ，则称状态i是周期的，若 ，则称状态i是非周期的。如果上述集合为空集，则约定,一、马氏链中的状态性质,1.周期性,2.常返性,从而,计算公式,显然有,定义 如果 ，则称状态i是常返的。如果 ，则称状态i是非常返的（或称为瞬时的）。如果马尔可夫链的任一状态都是常返的，则称此链为常返马尔可夫链。,定义 设i是一常返态，则从i出发可经过n 步首次返回i， 在 的条件下 的分布列为,由数学期望的定义，可得,称 为状态i的平均返回时间。,定义 设i是常返态，如果 ，则称状态i是正常返态； 如果 ,则称状态i是零常返
2、态。 如果状态i是非周期且正常返的，则称状态i是遍历的。,定理 对任何状态,，有,证明：因为,定理 状态i是常返（ ）的充要条件为,系：如果状态i是非常返的充要条件是,定理： 设i为常返状态， 有周期 ,则,此时有,马氏状态分类图,状态分类判别法：,（1） i非常返,（2）i零常返,且,且,（4）i遍历,且,（3）i正常返,二、马氏链中的状态关系,定义 （可达）：如果对于状态 i和 j,总存在某个 ， 使得 ，则称自i状态经过n步可以到达j状态， 并记为,反之，若对所有的 有 ，则自i状态不可以到达j状态，并记为,可达具有传递性，即若 , ,则,可达与互通,例 设一两状态 马氏链具有以下转移概
3、率矩阵,解：要讨论这一马氏链两个状态的可达性，可先求出它的 n步转移概率矩阵。由于,对于所有的n, ，故状态“1”不能到达状态“0”； 而存在n使得,故状态“0”可以到达状态“1”。,讨论其状态的可达特性。,注：此题画状态转移图更直观,定义 （互通）：若自状态i可达状态j，同时自状态j也可达状态i，则称状态和状态互通，记为,互通是一种等价关系，即满足：,（1）若 ，则 ,自返性,（2）若 ，则 ，对称性,（3）若 ， ，则 ，传递性,我们把任何两个互通的状态归为一类。然后定义：,定义 若Markov链只存在一个类，就称它是不可约的； 否则称为可约的。,例 无限制的随机游走问题。考虑一个质点在直
4、线上作随机游走如果在某一时刻质点位于i,则下一步质点将以概率 向前游走一步到达i+1处，或以概率 向后游走一步到达i-1处。现规定，这一质点只能“向前”或“向后”游走一步，并且经过一个单位时间它必须“向前”或“向后”游走。讨论其状态的互通性。,解：如果以 表示n时刻质点的位置，则 是一个随机过程。而且，当 时， 等在时刻n后质点所处的状态仅与 有关，而与质点在时刻n以前是如何到达i的无关故它是一个齐次马尔可夫链。状态空间 ，一步转移概率为,从而一步转移概率矩阵为,下面求n步转移概率,如在n次转移的结果是从i到j,n次转移中恰好向前游走m次，向后游走k次，则有,联立上两式求解可得,根据概率法则，
5、不难求得n步转移概率为,其中 时， 反映了在n，i，j之间存在的一种约束关系。由于对于满足要求的n，i，j， ，所以无限制的随机游走中的各个状态是互通的。,引理1 对任意i和j，若 ，则存在正数 、及正整数l、m，使对任一正整数n，有,、,定理 若 ，则 （1）i与j同为常返或同为非常返； （2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返； （3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。,定理,的充要条件是,证明：充分性：若 ，则根据到达的定义，总存在某个 ，使,所以,这样 ，至少有一个为正（不为0），所以,必要性：若,，则由,至少有一个,使,，故,表示自状态i出发，在有限步内迟早
6、要返回状态i的概率， 是在0与1之间的一个数。,三、状态空间分解,定义 设 ，若从V中任一状态出发不能到达V外的任一状态，则称V为闭集。,显然，对一切 和 有,若V中仅含有单个状态，则此闭集称为吸收态。它构成了一个较小的闭集。而整个空间构成一个较大的闭集。除了整个状态空间外，没有别的闭集的马尔可夫链称为不可约的马尔可夫链。此时整个空间的所有状态皆是相通的。闭集内任一状态，不论转移多少步，都不能转移到闭集之外的状态上去，即随着时间的推移，闭集内任一状态只能在闭集内部的状态之间转移。,定理 马尔可夫链的所有常返状态构成的集合是一闭集。,有限状态分解定理,定理（分解定理）状态空间E必可分解为 其中N是全体非常返态组成的集合， 是互不相交的常返态闭集组成。而且,（1）对每一确定的k, 内任意两状态相通；,（2） 与 ( )中的状态之间不相通；,例 设齐次马氏链 的状态空间 ， 其一步转移概率矩阵如下，试对该空间进行分解。,解：根据一步转移概率矩阵，可画出如图所示的状态转移图。,由图可知， ，而当 时， ，所以 ， 可见状态1为正常返，且周期 。含有状态1的常返闭集为,同理，因为 ， ，在 时， ，所以,可见状态6为正常返，且是非周期的。含有状态6的常返闭集为,状态2，6为遍历状态.,由于 ，在 时， ，所以 。可见状态4为非常返。,故,
