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1、欢迎同学们,高 等 数 学,初等数学 研究对象：常量 初等方法：有限的方法 初等数学是用有限的方法研究常量的数学 高等数学 研究对象：变量（函数） 研究方法：极限的方法 高等数学是用极限的方法研究变量的数学,绪,一元微分学,一元积分学,多元微分学,空间解析几何,多元积分学,级数,常微分方程,高等 数学,第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,第二节 数列的极限,第三节 函数的极限,第四节 无穷小与无穷大,第五节 极限运算法则,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第七节 无穷小的比较,第八节 函数的连续性与间断点,第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性,第十节 闭区间上连续函数的性质,第一节
2、映射与函数,一、 集合,二、 映射,三、 函数,一、集合,集合与元素之间的关系aM：若x是集合的元素；,1.集合概念,(1)集合：具有某种特定性质的事物的总体， 集合的元素通常用A，B，S，T 等表示.,元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示.,集合分为有限集和无限集.,a M: 若x不是集合的元素.,(2)集合的表示法,列举法:将集合的元素一一列举出来,描述法:,如:,N=全体自然数，Z=全体整数， Q=全体有理数，R=全体实数.,(3)常用的集合记号,如果 ，必有 , 则称A是B的子集，记为,不含任何元素的集合，则称为空集记为. 是任何集合的子集.,(4) 集合的
3、关系,若 ，且 ,则称A是B的真子集,记为 .,若 ，且 ,则称A与B相等,记为 .,2. 集合的运算,设A、B是二个集合，定义,(A与B的并集),(A与B的交集),(A与B的差集),设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的子集,称I为全集或基本集.,A的余集或补集记为:,例如: 在实数集R中,则有,设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：,（1）交换律,（2）结合律,（3）分配律,（4）对偶律,以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.,集合的运算法则,3. 区间和邻域,设a,bR,且ab,开区间,闭区间,半开区间,称a,b为区间的端点，称ba为这些区间的长度.,以上这些
4、区间都称为有限区间.,无限区间,用数轴可以表示区间, 区间常用I表示.,(2) 点a的去心邻域：,注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为U(a),邻域,点a的左邻域:开区间(a-,a),点a的右邻域:开区间(a,a+),(1) 设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即,点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.,二、映射,1、映射的概念,定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法 则f , 使得对X中每个元素x, 按法则f , 在Y中有唯一 确定的元素 y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射,记为,其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x), 即y=f(x
5、) ,元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像;,集合X称为映射f 的定义域, 记作D f , 即D f =X;,X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 Rf 或 f(X), 即,注意:,(1) 一个映射必须具备以下三个要素:,集合X, 即定义域D f =X,集合Y, 即值域的范围:,与之对应.,(2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的;,对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;,映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .,例1 设 , 对每个 , .,显然, f是一个映射, f 的定义域 ,值域,它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y, 除y=0外,它的原,像不是唯一
6、的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.,例2 设,对每个 ,有唯一确定的,与之对应.,显然, f 是一个映射, f 的定义域 ,值域,这个映射表示将平面上一个圆心 在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间-1,1上.,这里f 是一个映射,其定义域 ,值域,f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y,f为X到Y上的单射: 若对X中任意两个不同元素,满射 单射 一一映射,都是X中某元素的像.,f为一一映射(或双射): 若映射f 既是单射又是满射.,如:例1 既非单射, 又非满射;,例2 不是单射,是满射;,例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.,它们的像,映射又称为算子.,根据
7、集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.,如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.,从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义 在X上的函数.,2. 逆映射与复合映射,设 f 是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g,即,这个映射g称为f 的逆映射,记作 其定义域,值域,注意:只有单射才存在逆映射.,例1,2,3中,只有例3有逆映射:,设有两个映射,注意:,(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:,两者也不同时有意义.,例4 设有映射,对每个,对每个,三、函数,1.函数概念,对每个 ,按对应法则 f ,
8、总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y=,函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,定义 设数 集 , 则称映射 为定义D上的,函数，通常简记为,f (x). D称为定义域, 记作 , 即,记作 或 f (D) , 即,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.,函数的两要素:,定义域 与对应法则f .,如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际) 意义的一切实数值.,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数叫做
9、单值函数， 否则叫与多值函数,例如:,对于多值函数, 往往只要附加一些条件,就可以 将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函 数的单值分支.,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.,定义:点集,称为函数,的图形.,常见的几种函数,例5 函数y=2,例6 函数,例7 函数,称为符号函数,定义域 D=(,+),值域 =1,0,1.,注:对任意的x,有,阶梯曲线,x表示不超过x的最大整数,例8 取整函数 y=x,如-3.4=-4,1=1,定义域 D=(,+), 值域 =Z.,例9 函数,是一个分段函数.它的定义域 D=0,+).,如:,2. 函数的几种特性,(1) 函数的
10、有界性:,(2)有界与否是和X有关的.,(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的.,注意:,使,(3)证明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在,(2) 函数的单调性:,设函数f (x)的定义域为D, 区间,如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有,则称函数f (x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);,(3) 函数的奇偶性:,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;,偶函数的图形关于y轴对称.,函数 y=cosx是偶函数.,设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于,有f (-x)= -f (x)恒成立
11、,则称f (x)为奇函数.,奇函数的图形关于原点对称.,函数 y=sinx是偶函数.,函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.,(4) 函数的周期性:,函数sinx, cosx的周期是,函数tanx的周期是,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.,设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得,例10 狄利克雷函数,它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.,3. 反函数与复合函数,反函数的定义:,设函数,是单射,则它存在,若函数f (x)在D上是单调函数,则f-1也是f (D)上的单 调函数
12、.,直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.,复合函数,定义:设函数 y=f(u)的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有,称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.,函数g与函数f 构成的复合函数通常记为,注:1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的;,2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,如:,如:,4. 函数的运算,设函数f (x), g (x)的定义域依次为,则可以定义这两个函数的下列运算：,和(差),积,商,例11 设函数f (x)的定义域为(-l ,l ),证明必存在(-l ,l ) 上的偶函数g (x)
13、和奇函数h (x), 使得,证 先分析如下:假若这样的g (x)、 h (x)存在,使得,(1),且,利用(1)、(2)式,就可作出g (x), h (x).,作,则,证毕.,5. 初等函数,基本初等函数,(2) 指数函数,(5)反三角函数 y=arcsinx ;y=arccosx; y=arctanx;y=arccotx; y=arcsecx; y=arccscx,(3) 对数函数 y=logax y=lnx,三角函数 y=sinx ;y=cosx; y=tanx;y=cotx; y=secx; y=cscx,(2) 初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和 有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示 的函数,称为初等函数.,奇函数.,偶函数.,双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,双曲函数常用公式,反双曲函数,反双曲正弦,反双曲余弦,奇函数,作业：p-20 习题1-1 1, 2, 7, 12(1)(3)(5), 13(3)(4),14(5)(6),16,
