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1、代数及其应用,中国民用航空学院 理学院 陈尚弟,第1章 Mathematica软件 在代数中的应用,1.1 Mathematica系统简介 1.2 Mathematica在线性代数中的应用 1.3 Mathematica应用实例,1.1 Mathematica系统简介,Mathematica是由位于美国伊利诺州的伊利诺州大学香槟(Champaign)分校附近的Wolfram Research 公司开发的一套专门进行数学计算的软件。从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生物、药学、生命科学以及太空科学等领域，深受科学家、学生、教授、研究人员及工程师们的喜爱。数以万
2、计的论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等都是Mathematica的杰作。,早在1995年发表的Mathematica3.0版，可谓数学计算机软件史上的一大创新，而1999年发表的Mathematica4.0，则达到了这类软件的顶峰。Mathematica除了提供数值处理与绘图的功能之外，还具有符号计算的能力，使您能够处理多项式的各种运算、函数的微分、积分、解微分方程、统计，甚至可以制作电脑动画及音效等等。,Mathematica对计算机的要求不高，只要能运行Office系列软件便能够运行Mathematica4.建议您的计算机配置达到如下要求： 1. 操作系统： Windows9
3、5WindowsNT3.51以上的版本 2.CPU处理器：Intel、Cyrix或AMD586级以上的中央处理器。 3.硬盘空间： 除了具备120MB的硬盘空间用以安装Mathematica之外，还必须由60MB的剩余硬盘空间作为交换文件（Swap files）的存取空间。若进行较复杂的运算，则必须保证有100MB的剩余硬盘空间。 4.内存：至少32MB。建议64MB以上。,1.1.1 Mathematica基本操作,本节介绍Mathematica的基本操作。其中包括基本运算、Manthmatica的输入输出以及与操作界面的互动等。,基本运算,在工作窗口中输入2+3，再按Shift+Enter
4、组合键（先按住Shift键不放，再按Enter键）执行这个简单的运算，这时在工作窗口中会显示如下图所示的结果： 图中的In1= 与Out1 是Mathematica自动生成的，而Inx与Outx中的数字x表示的是本次计算是运行Mathmatica之后的第x 次计算。输入算式时不能输入这些序号，否则系统将会提示错误信息。如果您的工作窗口中没有如上图所示的工具栏和标尺，可以在Format下拉菜单中分别单击Show Ruler和Show Toolbar显示它们。,注意：启动Mathmatica之后，进行第一次数学计算通常会占用较长的时间，因为这时Mathmatica正把计算的核心文件（Kernel
5、files）加载到内存。第二次及以后的计算就会快得多。,Mathmatica的常用语法,基本运算 Mathematica的基本运算包括加、减、乘、除与乘方等。可以按照一般数学表达式的书写格式输入这些基本运算。例如2+4、2-4、5/72、32等都符合Mathematica的语法标准（注意：Mathematica以号表示乘方运算）。,乘法的表示方法 在Mathematica中，乘法的表示方法比较特殊，除了用*号之外，还可以用空格表示乘法，这一点类似于习惯的手写格式。下面三种情况都是合法的乘法运算： x*y xy x(y+1) | | | 乘号 在两个变量中间插入 变量与整个括号相乘 一个空格表示
6、相乘,在Mathematica的语法中规定x2属于变量，而2x则表示数字2乘以变量x，注意：2与x之间没有空格，如果在2与x之间加上一个空格，仍然表示数字2乘以变量x。 2x 表示2*x x2 表示变量x2 x2 表示x*2,变量与乘法的区别,变量与函数的表示方法 习惯上在输入Mathematica的内部函数时第一个字母必须大写，变量必须用方括号括起来，而圆括号表示计算的优先级别。下图说明了变量与常数的使用规则。 变量通常用小写 函数中的变量必须用方括号括起来 | | x=Siny*(6+4w) | 圆括号具有较高的计算优先级 内部函数的第一个字母必须大写,变量可以时几个 常量的第一个字母大写
7、 英文字母的组合 | | val=Mod15.5,2Pi |,若函数有两个以上的参数则参数之间用逗号隔开,1.1.2 数学表达式的输入,Mathmatica提供了多种数学表达式的方法.除了用键盘输入外，还可以使用工具栏或者快捷输入运算符、矩阵或数学表达式。,数学表达式二维格式的输入,Mathematica提供了两种格式的数学表达式。形如x/(2+3x)+12/(2y-z+w)的称为一维格式，形如 的称为二维格式。,一维格式适用于简短的运算或仅提供纯文字的DOS界面的输入环境； 二维格式则适用于进行比较复杂的数学运算或Windows界面的输入环境。,矩阵的二维格式输入方法,输入二维格式的矩阵，步
8、骤如下： （1）单击Input下拉菜单中的Create Table/Matrix/Palette命令。 （2）在弹出的对话框中选择Matrix,并输入行数与列数。 （3）单击OK按钮。,另外，也可以单击基本输入工具栏上的 按钮完成矩阵二维格式的输入。 如果修改矩阵，例如增加一行或一列，可以使用快捷键。快捷键及其功能列表如下：,Mathematica 的运算类型,Mathematica 的运算类型可以概况为数值运算（numerial calculation）和符号运算（symbolic calculation）两种。数值运算可以再细分为精确（exact）运算与近似（approximate）运算。
9、整数与整数相加减以及分数的运算等等都属于精确运算，而含有小数点的运算则属于近似值运算（或浮点运算）。符号运算包括不定积分的求解、函数的微分以及多项式的化简与分解等。,精确运算,通常把整数称为精确数（exact number）,因为它不带任何小数。其它如 等数也属于精确数。如果数值运算的结果是精确数，则称这一运算为精确运算。精确数能够保持计算的精度，不会因小数的取舍而导致计算上的误差，因此在实际运算中，应当尽可能地用精确数表示运算结果。,近似运算,精确值固然可以保持计算的精度，而近似值（或称为浮点数）会让我们有大小的概念。Sin(2)对大多数人而言只是个符号，但是若把它化成近似值sin(2)=0
10、.909297则会让我们有量的概念。虽然Mathematica会尽可能精确数来保持计算的精度，但我们也可以用一些技巧强制Mathematica把计算结果转换成近似值。例如,计算2+1.4 In7=2+1.4/2 注：:计算结果是一个浮点数。 Out7=2.7 计算3223 In8:=3x223 运算结果也是一个浮点数。 Out8=14.7737 如果sin函数的自变量是一个浮点数， Mathematica会自动用近似值表示运算 In9=Sin2.0 结果。 Out9=0.909297,浮点数乘以精确sin(2)，运算结果是 In10=3+2.2Sin2 浮点数。 Out10=5.00045 这
11、是一个精确运算。 In11= Out11= N命令可以将精确值化成近似值。 注意，Mathematica默认的有效数字位 In12=N 数为6位。 Out12=4.55581,符号运算,数值运算只是Mathematica运算功能的一小部分，Mathematica的真正用武之地表现在它的符号运算能力上。本节将对Mathematica的符号运算作初步介绍，用来比较它与数值运算的不同。在后续的章节中，我们将会把学习的重心转到Mathematica的符号运算上。,计算 In1:= 我们注意到积分的结果是 Out1= 一个符号运算式,而不是数 值运算式,-alog,基本数学运算,有了Mathematic
12、a运算的基本概念之后，现在可以学习一些简单的数学运算。 Manthmatica将数值分成了整数、实数（含有小数点的数，或称近似值或浮点数）和复数。分数可以看作是两个整数相除；整数的有效位数可以认为是无数位；而实数的有效位数则可以认为是有限的。,整数的运算,整数的基本运算命令（一） Factorialn或n! 计算n的阶乘。 Modm, n 计算m/n的余数，其中m,n 必须为整数 Quotientm, n 计算m/n的商，其中m, n必 须为整数,整数的基本运算命令（二） FactorIntgern 因数分解 GCDx1, x2, 求最大公约数 LCMx1, x2, 求最小公倍数 Diviso
13、rsn 求所有可以整除n的整数 RandomInteger, m,n 随机产生m到n之间的整数，其中m,n为 Primen 求第n个质数（2为第一个质数） PrimeQn 判断整数n是否为质数，若是，运算结果为True, 否则结果为False.,分数与浮点数,如果m, n属于整数，则分数m/n属于精确值。如果要把精确值化成近似值或浮点数，只要把分母或分子中的任一项化成浮点数，Mathmatica就会自动用浮点数表示分式的运算结果。另外，还可以用N命令把精确值化成近似值。,Nnum或num/N 把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字） Nnum, n 把num化成具有n个有效数字的浮点数
14、NumberFormnum, n 以n个有效数字表示num 虽然浮点数的默认的精确度位16位有效数字，但在大多数情况下， 为了节省输出空间，Mathematica只显示6位有效数字。,内部常数,Pi 常数 E 欧拉常数 Degree 角度转换成弧度的常数，Degree=/180 Infinity 常数 I 虚数I,1.2 Mathematicazai在线性代数中的应用,数组运算是Mathematica的强大功能之一，这个优点主要反映在矩阵的运算上，因为Mathematica的矩阵是由数组构成的。Mathematica不但可以完成基本向量与矩阵的运算，同时还可以处理矩阵的秩与零核空间，以及线性代数所包含的各种数学运算。,1.2.1 一维与多维数组,矩阵(array)是数组的延伸。在Mathmatica中，向量(Vector)是用一维数表示的，而矩阵(matrix)则是数组的数组(list of list, 即二维数组)，但矩阵的各个次数组必须有相同的长度。 a,b,c 向量ai+bj+ck a,b, c,d 22矩阵,虽然数学上有行向量（column vector）和列向量（row vec
