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1、1,10.4 空间曲面,与一个平面具有一一对应的关系.,一般地, 若一个三元方程: F(x, y, z)=0 与一个曲面 具有如下关系: (1)曲面 上任一点的坐标都满足方程: F(x, y, z)=0; (2)坐标满足方程: F(x, y, z)=0 的点都在曲面 上; 则称方程: F(x, y, z)=0 为曲面 的方程, 而曲面 称为方程: F(x, y, z)=0 的图形。,2,例1. 求与定点M0(x0, y0, z0)的距离等于定长R的动点M的轨迹.,解: 设动点M的坐标为(x, y, z),3,例2.设 p0, 求到定点M(0, 0, p)和平面 z= p 距离,解: 动点M(x
2、, y, z)到定点M0(0, 0, p) 的距离为:,相等的动点的轨迹方程。,是一个旋转抛物面.,4,10.4.1 三种特殊曲面,定义 给定空间曲线 C 绕某条定直线 L 旋转一周 而形成的曲面 称为旋转曲面, 定直线 L 称为该 旋转曲面 的中心轴, 曲线 C 称为该旋转曲面 的一条母线。,A. 旋转曲面,5,设曲线 C: f(y, z)=0 是yOz坐标面上的一条曲线,在曲面 上任取一点M(x, y, z), 则此点必是曲线 C上某点M0(x0, y0, z0) 绕 z轴旋转而得,求曲线 C绕 z 轴旋转而成的旋转曲面 的方程.,6,例3.,解:,7,类似地,而成的是单叶旋转双曲面, 其
3、方程为:,8,注意:,旋转是双叶旋转双曲面, 其方程为:,9,例2中的轨迹方程为:,可以看作是由yOz坐标面上的抛物线:,绕 z轴旋转而成的旋转曲面的方程, 称为旋转抛物面.,注意: 此旋转抛物面也可以看作是由 xOz 坐标面上的抛物线,绕 z轴旋转而得.,10,B. 柱面,定义 动直线 L 沿定曲线C 移动, 并始终保持与一固定的方向 l 平行, 动直线 L 所形成的轨迹称为柱面, 动直线 L 称为柱面的母线. 曲线C 称为柱面的准线。,设柱面 是以xOy坐标面上曲线C：F(x, y)=0 为准线, 母线平行 z轴, 柱面 的方程应的是怎样的?,11,设点M(x, y, z)为柱面 上的任一
4、点,故点M的坐标满足: F(x, y)=0 , 即为柱面 的方程.,过点M的母线与准线的交点为M0(x0, y0, z0),故有: x=x0, y=y0, z=0, 且 F(x0, y0)=0 ,12,圆柱面,椭圆柱面,抛物柱面,双曲柱面,抛物柱面,平面,13,作业 P150,14; 15(1)(2); 21(1), (2); 23; P163 A.5(2), (3); 6(1);,14,C. 锥面,定义 给定一条空间曲线C 和不在曲线C上的一定点O, 当点M沿曲线C运动时, 连接点O和M的直线所形成的 曲面称为锥面, 并称点O为锥面的顶点, 曲线C称为锥面的准线, 直线OM称为锥面的母线.,
5、设锥面的顶点为坐标原点, 其方程: f(x,y,z)=0, 有什么特点?当点M(x,y,z)在锥面上, M(x,y,z)O(0,0,0), 即有: f(x, y, z)=0, 则点M(kx,ky,kz)必在直线OM上, 也即在锥面上, 故有: f(kx,ky,kz)=0.,如果f(x, y, z)=f(kx, ky, kz), 则f(x, y, z)称为齐次函数. 故锥面方程必是齐次方程.,15,例4.试求以坐标原点O为顶点, 平面 z= h(h0), 上的圆,解: 设M(x,y,z)为锥面上任一异于原点O的点, 并设母线OM与准线的交点为M0(x0, y0, z0),为准线的圆锥面的方程.,
6、16,圆锥面的方程可写成:,以原点为顶点, 准线为:,的锥面方程为:,17,10.4.2 二次曲面,定义 二次代数方程:,的图形称为二次曲面.,都是二次曲面.,18,A. 椭球面,要知道: 图形的范围(有限), 图形的对称性, 与坐标轴的交点(顶点)用截痕法考察椭球面的形状:,都是椭圆,19,20,注意到:,中心在M0(x0, y0,z0).,21,B. 单叶双曲面,注意: 曲面的对称性, 曲面的无界性, 是直纹面.,22,23,C. 双叶双曲面,注意: 双叶双曲面的对称性,双叶双曲面的顶点, 曲面的无界性,截痕：,24,25,D. 椭圆抛物面,注意: 曲面的对称性, 顶点, 曲面的无界性,26,27,D.双曲抛物面(马鞍面),注意: 曲面的对称性, 顶点, 曲面的无界性,
