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1、新课标高中一轮总复习,第五单元 数列、推理与证明,第36讲,数列模型及应用,1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等式、解析几何、算法等知识解决一些数列问题. 2.掌握与等差数列、等比数列有关的实际应用问题的解法.,1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（ ）,B,A.63 B.65 C.67 D.71,设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为an，则有a1=2，an+1=2an-1，即 =2. 所以数列an-1是首项为1，公比为2的等比数列. 因此，an-1=2n-1，
2、即an=2n-1+1. 所以a7=26+1=65.,2.在一个凸多边形中，最小内角为120，各内角度数成等差数列，公差为5，则这一凸多边形的边数为( ),A,A.9 B.16 C.9或16 D.9或10,设凸多边形边数为n,其内角和为180(n-2), 依题意,有n120+ n(n-1)5=180(n-2), 化简得n2-25n+144=0，解得n=9或n=16. 当n=16时，最大内角为120+(16-1)5 =1950,180)，故n=16舍去， 当n=9时,最大内角为120+(9-1)5=160.,3.若 =110(xN*),则x= .,10,因为1+3+5+(2x-1)= =x2， +
3、 + =1- + - + - = , 所以 =110，即x(x+1)=110，解得x=10.,4.椭圆 + =1上有n个不同的点P1，P2，Pn，椭圆的右焦点为F，数列|PnF|是公差不小于 的等差数列，则n的最大值为( ),D,A.198 B.199 C.200 D.201,|P1F|a-c=1,|PnF|max=a+c=3, 所以1+(n-1)d3,所以n-1 , 因为d , 100,所以n-1200,故n201.,5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有( ),B,A.3颗 B.4颗 C.8颗 D.9颗,熟悉正四面
4、体的特征，由题设构造模型：第k层为k个连续自然数的和；化简通项再用分组求和法. 依题设,第k层正四面体为1+2+3+k= = , 则前k层共有 (12+22+k2)+ (1+2+k) = 60, k最大为6,剩下4颗,故选B.,1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r,存期为x期，则本利和y= . (2)单利公式. 利用按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y= .,a(1+r)x,a+arx,(3)产值模型. 原来产值的基数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y= . (4)递推与猜证型 递推型有an+1=f
5、(an)与Sn+1=f(Sn)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并根据题设条件加以证明. 2.数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与函数、数列与解析几何等,N(1+p)x,例1,题型一 等差、等比数列的实际应用,某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(参考数据：1.0510=1.629,1.310=13.786
6、,1.510=57.665),甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, 甲方案获利：1+(1+30%)+(1+30%)2+(1+30%)9 = 42.63(万元)， 银行贷款本息：10(1+5%)1016.29(万元)， 故甲方案纯利：42.63-16.29=26.34(万元)，,乙方案获利：1+(1+0.5)+(1+20.5)+(1+90.5) =101+ 0.5=32.50(万元); 银行本息和：1.051+(1+5%)+(1+5%)2+(1+5%)9 =1.05 13.21(万元)， 故乙方案纯利：32.50-13.21=19.29(万元); 综上可知，甲方案更好.,这是一道比较简单的数列应
7、用问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.,例2,题型二 数列与平面向量等的综合,已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点列P1,P2,P3,Pn,且满足 =an +bn (nN*),其中an、bn分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点. (1)求a1,b1的值； (2)讨论:点P1，P2，P3，,Pn,是否共线.,(1)因为P1是线段AB的中点， 所以 = + , 又 =a1 +b1 ,且 , 不共线， 由平面向量基本定理，知a1=b1= . (2)由 =an +bn (nN*)， 得 =(an,bn). 设an的公差为d，b
8、n的公比为q, 则由于P1,P2,P3,Pn,互不相同， 所以d=0,q=1不会同时成立.,1若d=0且q1，则an=a1= (nN*) P1,P2,P3,Pn,都在直线x= 上； 2若q=1且d0，则bn= 为常数列P1,P2,P3,Pn,都在直线y= 上； 3若d0且q1，P1,P2,P3,Pn,共线 =(an-an-1,bn-bn-1)与 =(an+1-an,bn+1-bn)共线(n1,nN*) (an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0 d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 (bn+1-bn)=(bn-bn-1)q=1,与q1矛盾， 所以当
9、d0且q1时,P1,P2,P3,Pn,不共线.,本题是数列与平面向量综合的基本题型，以平面向量共线为载体构造数列递推关系或等式，从而得到数列通项及属性，使得问题得到解决.,例3,题型三 数列与算法的创新整合,读下列算法，指出当输入的四个数依次为1,1,0,0时，输出的结果是什么？ S1：输入a,b,c,n； S2：n=n+1； S3：a=2a； S4：b=b+2； S5：c=c+ab； S6：若c500，则转S2； S7：输出n，c.,从数列的角度看算法，则S3可以看作an+1=2an；S4可以看作bn+1=bn+2；S5可以看作cn+1=cn+anbn，输入的四个数依次为1,1,0,0，即a
10、0=1,b0=1,c0=0,n=0, 故an=2n，bn=2n+1, cn=a1b1+a2b2+anbn =32+522+723+(2n+1)2n. 因为c1=32=6,c2=6+54=26,c3=26+78=82, c4=82+916=226,c5=226+1132=578500,执行S7,故输出的结果是5,578.,数列中的递推关系与算法中的循环结构简直就是“天造地设的一对”，同学们应重视.,某个网络QQ群体中有n名同学在玩一个数字哈哈镜游戏，这些同学依次编号为1，2，n，且在哈哈镜中，每个同学看到的像可用数对(p,q)(pq)来表示.游戏规则如下：若编号为k的同学看到的像为(p,q)，则
11、编号为k+1的同学看到的像为(q,r)，并满足q-p=k,r-q=k+1(其中p、q、rN*)，已知编号为1的同学看到的像为(5,6). (1)请根据以上规律分别写出编号为2和3的同学看到的像； (2)求编号为n的同学看到的像.,(1)由题意规律,编号为2的同学看到的像是(6,8);编号为3的同学看到的像是(8,11). (2)设编号为n的同学看到的像是(bn,an), 则b1=5,a1=6,n2时,bn=an-1, 由题意an-bn=n,所以an-an-1=n(n2), 所以an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =2+3+n= ,an= +6= , bn=an-n=
12、 . 经检验,n=1时,上式也成立，所以编号为n的同学看到的像是( , ).,1.数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的开放性问题广泛而多样，诸如圆钢堆垒、增减率、银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题. 解答数列应用问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列的模型，再综合运用其他相关知识来解决问题.建立数列模型时，应明确是等差数列模型还是等比数列的模型，或是递推数列模型？是求an，还是求Sn，或是求n?,2.数列综合问题的常用处理方法. (1)数列是一种特殊的函数，因此解数列题应注意运用函数与方程的思想与方法. (2)等价转换思想是解数
13、列有关问题的基本思想方法，复杂的数列求和问题经常转化为等差、等比或常见的特殊数列的求和问题.,(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例，推测出一般性的结论，都是利用此法实现的. (4)分类讨论的问题在数列解答题中常会遇到.如等比数列中，经常要对公式q进行讨论.如已知Sn求an时，要对n=1,n2时，进行分类讨论.,(2009广东卷)已知曲线Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn). (1)求数列xn与yn的通项公式； (2)证明:x1x3
14、x5x2n-1 sin .,曲线Cn:(x-n)2+y2=n2是圆心为(n,0),半径为n的圆,切线ln:y=kn(x+1). (1)依题意有 =n,解得kn2= . 又切点为(xn,yn),得xn2-2nxn+yn2=0,yn=kn(xn+1), 联立可解得xn= ,yn= .,(2)证明：由(1)知， = , sin = sin . 先证:x1x3x5x2n-1 . 运用数学归纳法: 当n=1时,x1= ,命题成立; 假设n=k时,命题成立, 即x1x3x5x2k-1 , 则当n=k+1时,x1x3x5x2k-1x2k+1 x2k+1= .,因为 = 1, 故 = . 所以,当n=k+1时,命题成立. 故x1x3x5x2n-1 成立. (另证：x1x3x5x2n-1= = .) 下证： sin . 不妨设t= (0, .,令f(t)=t- sint,则f (t)=1- cost0在t(0, 时恒成立. 故f(t)=t- sint在(0, 上单调递减, 从而f(t)=t- sintf(0)=0, 即 sin . 综上,x1x3
