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1、,6.3.2 割线法与抛物线法,6.3.1 Newton迭代法,6.3 一元方程的常用迭代法,6.3.1 Newton迭代法,对（6.3.2）可作如下的几何解释： 为函数f(x)在点 处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton迭代法也称为切线法.,将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,所以有 Newton迭代法是超线性收敛的。更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2)可得下面的定理.,设x*是f(x)=0的m重根, ，即,例6.9 方程 的根 是二重根.用三种方法求解.,解 (1)用Newton法有,(2)由(6.3.4),m=2迭代公式为,(3) 由(6.
2、3.5)确定的修改方法，迭代公式化简为,三种方法均取 =1.5,计算结果列于表6-7.方法（2）和方法(3)都是二阶方法， 都达到了误差限为 的精确度,而普通的Newton法是一阶的,要近30次迭代才有相同精度的结果.,表6-7,Newton法的每步计算都要求提供函数的导数值，当函数f(x) 比较复杂时，提供它的导数值往往是有困难的。此时，在Newton迭代法（6.3.2）中，可用 或常数D取代 迭代式变为,简化Newton法一般为线性收敛。,6.3.2 割线法与抛物线法,与Newton法不同的是，用割线法计算 时，需要有两个初始值 。计算 时，要保留上步的 和 ，再计算一次函数值 。所以割线
3、法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。下面给出割线法收敛性的定理。,因f(x)有二阶导数，所以有,其中 在 之间， 在包含 的最小区间上。仍记 ，由（6.3.8）有,所以，当 时， ，即 收敛到 。从上式也可知割线法至少是一阶收敛的。 进一步确定收敛的阶，这里我们给出一个不严格的证明。由（6.3.9）有,这里 。令 ，代入（6.3.10）得,我们知道，差分方程 的通解为 ，这里， 为任意常数，,类似于简单Newton法，有如下的单点割线法,对于Newton法，由于在（0.2）内 ，故取 ，计算结果如表6-8,由计算结果知，对单点割线法有 ，对割线法有 ，对Newton法有 ，故取,割线法的收敛阶虽然低于Newton法，但迭代一次只需计算一次 函数值，不需计算导数值 ，所以效率高，实际问题中经常使用。与割线法类似，我们可通过三点 作一条抛物线，适当选取它与x轴交点的横坐标作为 。这样产生迭代序列的方法称为抛物线法，亦称Muller方法。,下面给出抛物线法的计算公式。过三点 的插值多项式为,其中,可以证明（6.3.11）产生的序列局部收敛到 的零点 ，即有类似于定理6.6的结论。这里要假设 在 的领域内三阶导数连续 ， 。它的收敛阶是 ，这是方程 的根。收敛速度比割线法更接近于Newton法。,
