测量误差分析与处理

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1、传感器与测试技术,第8章 测量误差分析与处理,学习导航,8.1误差的基本概念（Error Basic Concept） 8.2 随机误差（Random Error） 8.3 系统误差（System Error） 8.4 间接测量中的误差计算（Error Calculation in Direct Measurement) 8.5 测试数据测量及表示方法（Measurement and Representation of Test Data）,8.1 误差的基本概念,测量误差与精度 真值（true value） 基本误差源（sources of elemental error） 基本误差分类 ：

2、标定误差、数据采集误差、数据处理误差。 按性质及产生原因，误差可分为： 系统误差：重复性测量条件下，对同一被测量进行多次测量结果的平均值与被测量真值之差。 随机误差：单次测试结果与在重复性条件下对同一被测量进行多次测量结果的平均值之差。 粗大误差：一种明显超出统计规律预期范围的误差。,测量误差与精度 准确度(justness):也称正确度(correctness),测量数据的平均值偏离真实值的程度，是系统误差的反映。 精密度(precision):在进行某一量的测量时，各次测量的数据彼此接近的程度，是随机误差的反映。 精确度(accuracy):简称为精度，指测量数据集中于真实值附近的程度。,

3、a)高准确度，低精密度情形 b)低准确度，高精密度情形 c)高准确度、高精密度情形,8.1 误差的基本概念,8.1 误差的基本概念,误差的表示方法 误差(error):也称绝对误差(absolute error)，是测量值 与其真值 之差。 相对误差(relative error) :测量误差与真值之比。 引用误差(quoted error):绝对误差与仪表的满量程值A之比。,8.2 随机误差,随机误差分布规律 正态分布 式中， 测量值（随机变量）； 被测量的平均值，表征测量值平均水平或集中趋势的 参数； 被测量的标准差，表征测量值相对于其中心位置的离散程度。 标准正态分布 将一般正态分布化为

4、标准正态分布，令,随机误差分布规律 则 的概率密度函数为： 误差落在区间 的概率为： 其中， 称为置信系数， 称为置信限， 称为置信区间，概率P称为置信水平。表 8-1列出了典型置信区间与相应置信水平之间的关系。,8.2 随机误差,随机误差统计分析 中心趋势的度量 平均值： 中位数：位于序列中间数据的值，或位于中间的两个数据的平 均值（若序列中元素的数量为偶数）。 众 数：出现概率最大的随机变量的值。,8.2 随机误差,随机误差统计分析 分散性的度量 每次测量的偏差： 平均偏差： 总体的标准差： 样本标准差：,8.2 随机误差,随机误差统计分析 总体均值的区间估计 在估计总体平均值时，将其表示

5、为 或 (8-17) 其中，是误差， 是样本平均值。区间（ ， ）为关于均值的置信区间。分别称 、 为关于均值的置信下限和置信上限。置信区间取决于置信水平，平均值落入较大区间的置信水平比落入较小区间的置信水平高。置信水平一般通过显著性水平（level of significance） 表示： (8-18),8.2 随机误差,随机误差统计分析 (1)大样本（n30）事件总体均值的区间估计 直接应用中心极限定理估计置信区间。因为 是正态分布的，所以可以使用统计量: （8-20） 其中，当 足够大时，根据中心极限定理， 的标准差： 由（8-18），有 （8-21） 也可以写成： （当置信水平为 ）,

6、8.2 随机误差,随机误差统计分析 (2)小样本( )事件总体均值的区间估计 由于标准差的误差，小样本情况下，可以使用 分布统计量: （8-23） 与正态分布不同， 分布取决于样本量。 由（8-18），有 （8-26） 也可以写成： （当置信水平为 ）,8.2 随机误差,随机误差统计分析 总体方差的区间估计 总体方差 的最佳估计是样本方差 ，对于正态分布的总体，可以应用 统计量估计置信区间。设随机变量的平均值为，标准差为，则有： （8-28） 变量 被定义为： （8-29） 联立式(8-28)和(8-29)，有 （8-30）,8.2 随机误差,随机误差统计分析 是随机变量，在正态分布总体的情况

7、下不同自由 度的概率密度函数曲线如右图所示。 变量 在任意两个值之间的取值概率等于曲线下这两值之间的面积： （8-32） 为显著性水平，按式（8-29）得： （8-33） 则总体方差的置信区间为： （8-34）,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 莱茵达准则（3准则） 若测量值只含有随机误差，且按正态分布，则测量数据落在置信区间 以外的概率只有0.27%。 莱茵达准则规定，如果实测数据的误差满足以下条件 则将 作为异常数据处理。 注：根据统计学原理，莱因达准则不适用于测量次数 的场合。,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 肖维纳准则 肖维纳准则也是以正态分布为前提，规定在n次测量中，某一误差可能出

8、现的次数小于半次就被认为是过失误差。 设任一次测量值的误差落在区间 的概率为，则误差落在置信区 间 之外的概率为 对于n次测量，令随机误差落在置信区间 之外的次数等于1/2，则有 于是,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 则由式（8-10）得： 若已知测量次数 ，则可求出满足肖维纳准则的 ，再由积分表查得置信系数 。 根据肖维纳准则，若某次测量所得误差绝对值大于相应的置信限 ，应予舍弃。,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 格拉布斯准则 格拉布斯法假定测量结果服从正态分布，根据顺序统计量来确定可疑数据的取舍。进行n次重复试验，试验结果为 ，且 服从正态分布。为了检验 中是否有可疑值，可将其值由小到

9、大顺序重新排列，根据顺序统计原则，给出标准化顺序统计量g： 当最小值 可疑时，则： 当最大值 可疑时，则：,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 根据格拉布斯统计量的分布，在给定的显著性水平（一般=0.05）下，查得判别可疑值的临界值 ，见表8-4。该检验的拒绝域为： 即标准化顺序统计量大于其临界值，即可认为其相应数据为粗大误差影响的可疑数据。利用格拉布斯准则每次只能舍弃一个可疑值，若有两个以上的可疑数据，应该一个一个数据地判断。即舍弃第一个数据后，试验次数由n变为n-1，以此为基础再判别第二个可疑数据。,8.2 随机误差,可疑数据的取舍 t检验准则 检验准则是将测量列的 个测得值中可疑的测得值

10、先剔除，然后按余下的 个数据计算算术平均值 和标准差 值，再判断数据 是否含有粗大误差。 （不含 ） （不含 ） 根据测量次数 和所选取的显著度 ，从表8-5中查得 k 值。若所怀疑的数据 满足下式： 则可认为 为可疑数据，应予以剔除。,8.2 随机误差,8.3 系统误差,任何测量过程首先要注意发现与减小系统误差，确保把它限制在允许的范围内。对于在实验中无法补偿的系统误差，应对测量结果进行修正。系统误差有恒值系统误差和变值系统误差。恒值系统误差（固定系统误差）是在整个测量过程中的大小和符号都不变的误差。变值系统误差是指在测量过程中大小和符号都可能变化的误差，变化规律可分为三种： 1) 线性变化

11、测量过程中误差值随某些因素作线性变化。 2) 周期性变化系统误差的数值或符号随某些因素按周期规律变化。例如，轧辊有偏心，轧制时的精度误差。 3) 复杂规律变化按复杂规律，例如按指数规律变化。,系统误差对测量结果的影响 恒值系统误差对测量结果的影响 如果在多次重复测量时存在恒值误差，则一组测量值 中的每一个都含有恒值系统误差 。于是，不含系统误差的测量值应为 其算术平均值为 由偏差的定义，有 恒值系统误差只影响一系列重复测得值的算术平均值 ，对测得值的偏差 没有影响，即不影响随机误差的分散性及精度参数。,8.3 系统误差,系统误差对测量结果的影响 变值系统误差对测量结果的影响 变值系统误差对每个

12、测量值有不同的影响，但有规律，不是随机性的。设有一系列测得值 ，并含有变值系统误差 ，则不含系统误差的测量值为 其平均值为 如果测量中含有变值系统误差，它将以算术平均值的形式影响测量结果，应在消除或校正后，以 作为测量结果。 在偏差 的计算中有 偏差 受变值系统误差的影响，即变值系统误差影响测量结果的精确度。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 恒值系统误差判别方法 （1）对比检定法 在确认没有明显变值系统误差的前提下，可以改用更理想的测量条件，进行检定性测量。以此两种不同的测量条件对同一量值进行次数相同的重复测量，求出两者算术平均值之差，则该差值即为被判断的测量条件下的定值系统误差。 （

13、2）均值与标准差比较法 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情况下进行两组（或多组）测量。由于 和 是服从正态分布的随机变量，故其差值 也服从正态分布（其分布的平均值为零，方差为 ）。因此，可用区间的概率估计原理来判断是否有恒值系统误差，即,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 在给定置信概率 时，若无定值系统误差，则 应不超过 ；如果超出，则可认为 与 的差异不只是受随机误差影响，而且还有恒值系统误差存在。这样判断的置信概率为 。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 变值系统误差判别方法 （1）偏差观察法 偏差观察法是将一系列等精度测量值，按测量的先后顺序把测得值及其偏差值列表，

14、观察其偏差数值及其符号的变化规律。若偏差数值有规律的递增或递减，并且在测量开始和结束时偏差符号相反，则可判定该测量列含有线性系统误差。若在某一测量条件时，偏差基本上保持相同符号，当变为另一测试条件时偏差均变号，则表明测量中含有随测量条件而变的恒值系统误差。若偏差的符号有规律地由正变负，再由负变正，或循环交替变化多次，则可判定该测量序列含有周期性误差。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 （2）偏差核算法 将测得值按测量先后顺序排列，并将其分为前半组k个和后半组k个，两组分别求和后相减，有 当测量次数n足够多时， ，所以 上式表明前后两部分偏差和的差值取决于系统误差，因线性系统误差前后两组的

15、符号相反，则值将随n的增大而增大。因此，若值显著不为零，则说明测量列中含有线性系统误差。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 （3）阿贝赫梅特判据 阿贝赫梅特判据为：只要测量列满足下式，就认为该测量列有周期性系统误差存在。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 系统误差的修正 （1）恒值系统误差的修正方法 代替法； 相消法； 对换法。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 （2）线性变化系统误差的修正方法 例如测量电阻， 为被测电阻， 为已知电阻。设回路电流 随时间线性降低，可用对称测量法修正该线性误差，方法如下： 第一次测 两端电压为： 第二次测 两端电压为： 第三次测 两端电压为：,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 因电流下降是线性变化的，所以 从上式可看出，因电流变化而引起的系统误差已被修正。,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 （3）周期性变化系统误差的修正 只要读取相隔半周期的两次测量值，然后取平均值为测量结果，即可修正周期性变化的系统误差。这是因为根据周期性变化系统误差的变化规律，有： 变化半周期即 时，有 取 和 的算术平均值，有,8.3 系统误差,系统误差的识别与修正 系统误差修正准则 如果系统误差或偏差代数和的绝对值不超