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1、,第七章,山东交通学院高等数学教研室,第一节 向量及其线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,五、向量的模、方向角、投影,四、利用坐标作向量的线性运算,表示方法:,向量的模 :,向量的大小,一、向量的概念,向量:,(又称矢量).,既有大小, 又有方向的量称为向量,自由向量:,与起点无关的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,或 a .,规定: 零向量与任何向量平行 ;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线 .,若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k,个向量共面
2、.,二、向量的线性运算,1 向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算律 :,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加 .,2 向量的减法,三角不等式,可见,3 向量与数的乘法, 是一个数 ,大小 :,注:（1）,运算律 :,结合律,分配律,方向 :,时，,（2）,定理1,( 为唯一实数),证明:, 取 ,且,故 唯一 .,则,反向时取负号,显然,证毕.,.,再证数 的唯一性 .,方向相同,例1 设 M 为,解:,x轴(横轴),三、空间直角坐标系,由三条两两垂直的单位向量,按右手规则组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 O ,坐标面
3、,卦限(八个),1 空间直角坐标系的基本概念,zOx面,在空间直角坐标系下,向径,坐标轴上的点 P, Q , R ;,坐标面上的点 A , B , C,点 M,特殊点的坐标 :,有序数组,称为点 M 的坐标,原点O(0,0,0) ;,记作,坐标轴 :,坐标面 :,在空间直角坐标系下,2 向量的坐标表示,记作,有相同的坐标.,显然：,四、利用坐标作向量的线性运算,则,平行向量对应坐标成比例:,类似的，若,例2,求解以向量为未知元的线性方程组,解:,2 3 , 得,代入得,例3 已知两点,在AB所在直线上求一点 M , 使,解: 设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,说明: 由,得定比分点公
4、式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,设,五、向量的模、方向角、投影,作,则,对两点,因,得两点间的距离公式:,1 向量的模与两点间的距离公式,例4 求证以,证明:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,例6 已知两点,解:,例5 在z轴上求与两点,等距离的点 .,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,所以,2 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,方向余弦的性质:,规定：,零向量与其它向量的夹角可取 0到 之间的任何值.,例7 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,3 向量在轴上的投影,例如,在坐标轴上的投影分别为, 即,投影的性质,(为实数),或,或,例8,设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且,解:,如图所示,记 MOA = ,备用题,解: 因,1 设,求向量,在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分,向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,2 设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,
