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1、1,一阶线性微分方程的标准形式:,方程称为齐次的.,方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,第四节 一阶线性微分方程,2,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),3,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,设非其次方程通解为,4,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,5,解,例1,6,例2. 解方程,解法一: 先解,即,积分得,即,用常数变易法: 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,7,解法二：,直接应用一阶微分方程通解公式,故原方程
2、通解为,8,满足,解 原式化为,代入公式,9,解:将原方程写成,10,例5 如图所示，平行于 轴的动直线被曲线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解微分方程,11,所求曲线为,12,例6,求一连续可导函数,使其满足下列方程:,解:,令,利用公式可求出,方程两边求导，整理得,13,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 经过变量代换化为线性微分方程.,14,求出通解后，将 代入即得,代入上式,15,例1. 求方程,的通解 .,解: 令,则方程变形为,其通解为,将 代入 , 得原方程通解:,16,解,例 2,17,例3 解微分方程:,解,所求通解为,18,思考与练习,判别下列方程类型,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,19,1(1) (5) (8) (10)， 2 (3) (5) ,作业7-4 P315,
