《可降阶的高阶微分方程(29)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《可降阶的高阶微分方程(29)(29页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、Reduction of Order,12.6 可降阶的高阶微分方程,二阶微分方程的一般形式:,或,通解:,n 阶微分方程的一般形式:,或,通解:,一、 n 阶微分方程,这种 n 阶方程可以通过 n 次积分求出通解:,降为 n-1 阶方程,再积分,又降为 n-2 阶方程,例,解三阶方程:,解,积分,再积分,再积分,通解,两类特殊的二阶微分方程,二、特殊的二阶微分方程,不显含 y,二阶微分方程的一般形式:,特殊的二阶微分方程:,不显含 y,用降阶法,令,则,原方程化为:,p 的一阶方程,Reduction of Order,设,得,一阶方程,通解:,例,解二阶方程:,解,方程缺 y,用降阶法,令
2、,则,原方程化为:,设 p 0,得:,p 的一阶方程 可分离变量,得:,一阶方程,积分,得通解:,三、特殊的二阶微分方程,不显含 x,二阶微分方程:,不显含 x,用降阶法,令,则,原方程化为:,有三个变量? 没法解呀!,再来,原方程化为:,p 和 y 的一阶方程,已经降阶 以下的事情就好办了,例,解二阶方程:,解,方程缺 x,用降阶法,令,则,原方程化为:,设,得:,p 的一阶方程 可分离变量,得:,一阶方程,分离变量:,通解,例 4,悬链线,Catenary,http:/teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/
3、catenary.htm,A catenary is the curve of a hanging chain.,特点:张力全在切线方向,Catenary,http:/teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Activities/Matching/answers/catenary.htm,The Gateway Arch in St. Louis, Missouri is an inverted catenary,特点:压力全在切线方向,例 4,悬链线,Catenary,建立坐标系 设 A(0, a),设曲线方程:y = y(x),设 M(x, y) 是曲线上任意一点
4、,设 s 是弧段 AM 的弧长 绳子的密度: 弧段 AM 的重量: sg,弧段 AM 的受力分析:,(1) 重力(向下):F = sg,(2) 张力:T = Tx, Ty,(3) 张力(向左):H,特点:张力全在切线方向,因为弧段 AM处于静止状态, 外力的合力为零: FTy HTx,求导:,二阶方程,令,则,或,悬链线,with(plots):a:=1: p1:=plot(exp(x/a)+exp(-x/a)*a/2,x=-22,thickness=2): p2:=plot(exp(x/a)+exp(-x/a)*a/2,x=01,thickness=5,color=blue): display(p1,p2,tickmarks=0,0,view=-22,04);,习题 (可降阶的高阶方程),