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1、一、格林（Green)公式及其应用,4.平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,4.平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,B,A,如果在区域D内,则称曲线积分,否则与路径有关.,在D内与路径无关,有,积分与路径无关时, 曲线积分可记为,说明:,定理2 设D是单连通域,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线C,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L, 曲线积分,(3),(4)在D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即存在可微函数 使,证明,B,A,C,即,故积分与路径无关.,有,采用循环方式：,得,(封闭曲线),设,取
2、起点为定点,与路径无关,只与起终点有关.,终点为动点,只须证,由积分中值定理,偏增量,定积分,同理可证：,因 可微，,的偏导数存在，,因 连续，,偏导数连续，从而相等，,于是,有,故 的二阶混合,由格林公式，对任何闭曲线C，它所围成,的区域为D,有,证毕.,由定理2 知：,曲线积分与路径无关，可以取路径为平行于,坐标轴的折线，即,注1：,解,原积分与路径无关,由定理2知：,由于积分与路径无关，可以取路径为平行于坐标轴的折线,这样就可求出u(x,y).,称全微分方程,全微分,注2：,例7 验证,是某个函数的,全微分, 并求出这个函数.,证 设,由定理2可知,存在函数 u (x , y) 使,。,
3、。,是全微分方程,的通解.,注,解,因积分与路径无关,故,又,，知,故,由,小 结,四个等价命题,设D是平面单连通区域,在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个命题等价：,在D内与路径无关.,1.对D内任意闭曲线L有,4.在D内有,3.在D内有,若在某单连域内,函数P,Q偏导连续,则,且,等价命题的应用,(1)利用等价命题简化第二类曲线积分的计算,可选择方便的积分路径,(2) 可用积分法求,在D内的原函数:,因积分与路径无关，故可选择方便的 积分路径.,比如，平行于坐标轴的折线.,设,思考题,解,于是,P,Q,作 业,p.153 习题10-3,4. (2); 5.(1);(3); 6.(2); 7.,
