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1、第一章 函数 预备知识 函数的概念 具有某种特性的函数 初等函数 两个常用不等式 高等数学是研究自然现象数量关系规律的 学科 , 理论严谨 , 应用广泛 , 发展迅速 . 目前 , 高 等学校各专业都开设了这门课程 , 而且从上世 纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科 生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好 这门不易学好又不得不学的重要课程 . WHATS MATHEMATICS 前 言 预备知识 分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事
2、物的总体称为 集合 . 组成集合的事物称为 元素 . 不含任何元素的集合称为 空集 , 记作 . Ma ( 或 Ma ) . .Ma注 : M 为数集 *M 表示 M 中排除 0 的集 ; M 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 表示法 ： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例 : 有限集合 naaaA , 21 niia 1自然数集 ,2,1,0N n(2) 描述法： xM x 所具有的特征 例 : 整数集合 Z xNx 或 Nx有理数集 qpQ ,N,Z qp p 与 q 互质 实数集合 R x x 为有理数或无理数 开区间 ),( xba bxa 闭区间 , xba
3、 bxa )(aa无限区间 点的 邻域 a其中 , a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 半开区间 去心 邻域 左 邻域 : 右 邻域 : axa ax ax0Rx是 B 的 子集 , 或称 B 包含 A , 2. 集合之间的关系及运算 定义 2 . 则称 A .BA 若 且 则称 A 与 B 相等 , .BA 例如 , 显然有下列关系 : , , 若 Ax ,Bx设有集合 ,BA记作 记作 必有 AcABB定义 3 . 给定两个集合 A, B, 并集 xBA 交集 xBA 且 差集 xBA Bx且 定义下列运算 : AB BA余集 )( ABBAB cA 其中直积 ),( yxBA ,Ax
4、 By特例 : RR 记 2R为平面上的全体点集 ABABBABA或 二、 映射 1. 映射的概念 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 1. 引例 2. 引例 3. (点集 ) (点集 ) 向 y 轴投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 4. 设 X , Y 是两个非空集合 , 若存在一个对应规 则 f , 使得 有 唯一 确定的 与之对应 , 则 称 f 为从 X 到 Y 的 映射 , 记作 .: YXf 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作 ).( xfy 元素
5、 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的 定义域 ; Y 的子集 )( Xf Xxxf )( 称为 f 的 值域 . 注意 : 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的 , 但 y 的原像不一定唯一 . X Yf机动 目录 上页 下页 返回 结束 fD记 对映射 若 YXf )( , 则称 f 为 满射 ; X Yf)( Xf若 有 则称 f 为 单射 ; 若 f 既是满射又是单射 , 则称 f 为 双射 或 一一映射 . X Y引例 2, 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例 2 引例 2 X (数集
6、 或点集 ) 说明 : 在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为 X 上的 泛函 X ( ) X f f 称为 X 上的 变换 R ff 称为定义在 X 上的 为 函数 映射又称为 算子 . 名称 . 例如 , 定义域 第一节 函数的概念 定义 1. 设数集 ,RD 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 Dxxfy ,)(f ( D ) 称为值域 函数图形 : ),( yxC Dx ,)( xfy xy),( baD a bxy)( DfD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量 因变量 一 .函数的概念 Dx f D
7、xxfyyDfy ),()(对应规则 ) (值域 ) (定义域 ) 例如 , 反正弦主值 定义域 对应规律 的表示方法 : 解析法 、图象法 、列表法 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合 . 定义域 值域 又如 , 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 已知函数 1,1 10,2)( xx xxxfy求 )(21f 及 ,)(1tf解 : 2121 2)( f 2)( 1tf10 t,11 t1t,2t时0t函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 ),0 D值 域 ),0)( Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 下列各组函数是
8、否相同 ? 为什么 ? )a r c c o s2c o s ()()1( xxf 1,1,12)( 2 xxx与axaaxxxf,)()2( 2)(21)( xaxax 与相同 相同 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 .函数的分段表示 ,隐式表示 与参数表示 1.函数的分段表示 设 是两个互不相交的实数集合 , 和 是两个不同的表达式 ,则称定义在集合 上的函数 12,DD ()x()x 12DD12( ) ,()( ) ,x x Dfxx x D 为 分段表示 的函数 例 1 符号函数 1 , 0s g n 0 , 01 , 0xy x xx 例 2 取整函数 yx表示不超过 的最大
9、整数 x2.函数的隐式表示 函数的隐式表示 ,是指通过一个二元方程 来确定变量 与 之间的函数关系 的一种表示方式 ,这样的函数称为 隐函数 . ( , ) 0F x y x y例 : 可确定显函数 可确定 是 的函数 , y x但此隐函数不能显化 . 3.函数的参数表示 在表示变量 与 的函数关系时 ,我们常常要 引入第三个变量 (例如参数 ),通过建立 与 , 与 之间的函数关系 ,间接地确定 与 之间的函数关系 ,这类函数也称为参变量函数 , x y( ) ,()( ) ,xtt I Iyt为 非 空 实 数 集t tx t y x y这种方法称为函数的 参数表示 研究抛射物体的运动问题
10、 ,如果空气阻力 不计 ,则抛射体的运动轨迹可表示为 : 12212x v ty v t g tyxv1v2v三 .极坐标 xoMro 为极点 ox 为极轴 OM r 表示从 到 的角度 ox OMr 称为点 的极径 , 称为点 的极角 . M M则有序数组 称为点 的 极坐标 . ( , )r M特别地 :当点 在极点时 ,它的极坐标 M( , )Mr 0,r 可以取任意值 . 例 :求圆心是 半径为 的圆的 极坐标方程 . ( , 0),AR R直角坐标与极坐标的关系 : xyoMrxy2 2 2ta nx y ryx （ x0 ）例 :化下列极坐标方程为直角坐标方程 (1 ) 3 ;r
11、( 2 ) 2 c o s ;r 常用的一些曲线方程及图形见 P5 (1) 复合映射 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1D手电筒 D D2D引例 . 复合映射 四 .复合函数与反函数 定义 . Dx g )()( Dgxgu 1Du f则当 1)( DDg 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的 复 .),( Dxxgf 设有映射链 记作 合映射 , 时 , 或 )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 : 构成复合映射的条件 1)( DDg 不可少 . 以上定义也可推广到多个映射的情形 . (2) 复合函数 1),( Duufy 1)( DDg 且则 设有函数链 称为由 , 确定的 复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为 中间变量 . 注意 : 构成复合函数的条件 1)( DDg 不可少 . 例如 , 函数链 : ,a r c s in uy 函数 但函数链 22,a rc s i n xuuy 不能构成复合函数 . 可定义复合 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数 . 例如 , 0, uuy可定义复合函数 : Zk02c o t,22 xkxk 时),2,1,0(,c o t kkvvu ),(,2 xxv例 1.设函数 ,1, 1,13)( x
