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1、线性代数 欧式空间 张祥朝 复旦大学光科学与工程系 2013-5-9 向量的内积 定义：设有n 维向量 令(x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn， 11 22 , , nn xy xy xy xy = MMMMMMMM 1 2 2 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积 说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn= xTy 定义：设有 n 维向量 令 1122 , nn x yx yx yx y=+=+=+=+LLLL 向量的内积 11 22
2、, , nn xy xy xy xy = MMMMMMMM 则称 (x, y) 为向量 x 和 y 的内积 ( ( ( () ) ) ) 1 2 12 , n n y y xxx y = = = = LLLL M M M M T x y= = = = (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn= xTy 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为实数）： ? 对称性： (x, y) = (y, x) ? 线性性质： (x, y) = (x, y) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (+ y, ) = ( , ) + (y, ) ? 当
3、x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x 0（零向量） 时， (x, x) 0 ? Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 (x, x) (y, y) 1122 1122 , nn nn x yx yx yx y y xy xy x =+=+=+=+ =+=+=+=+ LLLL LLLL (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn= xTy 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为实数）： ? 对称性： (x, y) = (y, x) 1122 , nn y xy xy x y x =+=+=+=+ = = = = (x, y)
4、 = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn= xTy 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为实数）： ? 对称性： (x, y) = (y, x) ? 线性性质： (x, y) = (x, y) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (+ y, ) = ( , ) + (y, ) , ()() , TTT x yxyxyx yx y= , ()()()() , , TTTTT xy zxyzxyzx zy zx zy z+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn=
5、xTy 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为实数）： ? 对称性： (x, y) = (y, x) ? 线性性质： (x, y) = (x, y) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) (+ y, ) = ( , ) + (y, ) ? 当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x 0（零向量） 时， (x, x) 0 (x, x) = x12+ x22+ + xn2 0 (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn= xTy 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量， 为实数）： ? 对称性： (x,
6、y) = (y, x) ? 线性性质： (x, y) = (x, y) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ? 当 x = 0（零向量） 时， (x, x) = 0； 当 x 0（零向量） 时， (x, x) 0 定义了内积的线性空间称为欧几里得空间(Euclidean space). 严格来讲， (x, y) = x1 y1+ x2 y2+ + xnyn并不是内积的唯一 定义，而是常用定义。对于向量空间中的内积计算成立。 比如，在一个多项式空间中，就可以定义定积分作为内积。 1，交换性： ),(),(fgdxfgdxgfgf bb = 2，线性 3，非负性 9 ),()
7、,(fgfggfgf aa ),(),(gfkdxgfkdxgkfgkf b a b a = ),(),()(),(hfgfdxhfdxgfdxhgfhgf b a b a b a +=+=+=+ 0),(= dxffff b a 00),(=fff ? 对于向量空间， ? Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 (x, x) (y, y) 证明 x x x x=0 或y y y y=0时显然成立x x x x=0 或y y y y=0时显然成立。 x x x x0且y y y y0时，由于(x x x x+ty y y y,x x x x+ty y y y)=（x x x x,x
8、 x x x）+2t(x x x x, y y y y)+t2(y y y y,y y y y)0 取t=-(x x x x,y y y y)/(y y y y,y y y y)，则有 （x x x x,x x x x）-(x x x x,y y y y)2/(y y y y,y y y y) 0 （x x x x,x x x x）(y y y y,y y y y) -(x x x x,y y y y)20 故不等式成立 10 线段的长度 22 12 | , OPxxx x=+=+=+=+= x1 x2 P(x1, x2) O 若令 x = (x1, x2)T，则 (x, x) = x12+
9、x22+ + xn2 0 x1 x2 x3 P O 222 123 | , OPxxxx x=+=+=+=+= 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 向量的长度 定义：令 称 x 为 n 维向量 x 的长度（或范数） 当 x = 1时，称 x 为单位向量 向量的长度具有下列性质 222 12 | , 0 n x xxxxx=+=+=+=+LLLL 2 , , , xxxxx xx x = 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， x = 0； 当 x0（零向量） 时， x 0 齐次性： x = | | x 2 |, , | , |xxxx xx xx = 向量的
10、长度 三角不等式： x + y x + y x y x + y y 向量的正交性 Cauchy-Schwarz不等式 (x, y)2 (x, x) (y, y) = x 2 y 2 当 x 0 且 y 0 时， , 1 | | x y xy 定义：当 x 0 且 y 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角 当 (x, y) = 0，称向量 x 和 y 正交（orthogonal） 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交 , arccos | | x y xy = = = = x y 显然，对于n维欧式空间，可以取n个无关向量组作为空间的基 设基为(e1,e2,en) 对于空间
11、中任意向量 EXex= = i n i i x 1 EYey= = i n i i y 1 所以向量的内积变成其坐标的计算。其中A称为基的度量矩阵 15 AYXEYEX TTTT =yxyx),( 定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组 定理：若 n 维向量a1, a2, , ar是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, , ar线性无关 证明：设 k1a1 + k2a2 + + krar= 0（零向量），那么 0 = (a1, 0) = (a1, k1a1 + k2a2 + + krar) = k (, ) + k (, ) + + k (, )= k1 (a1, a1)
12、+ k2 (a1, a2) + + kr(a1, ar) = k1 (a1, a1) + 0 + + 0 = k1 a12 从而 k1= 0 同理可证，k2= k3= = kr=0 综上所述， a1, a2, , ar线性无关 例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3，使a1, a2, a3 两两正交 分析：显然a1a2 解：设a3 = (x1, x2, x3)T，若a1a3， a2a3 ，则 12 11 1 , 2 11 aa = = = = 解：设 3 = (1, 2, 3) ，若13 ， 23 ，则 (a1, a3) = a1Ta3 = x1+ x2+ x3= 0 (a2, a3) = a2Ta3 = x1 2 x2+ x3= 0 1 2 3 1110 1210 x Axx x = 1 2 3 1110 1210 x Axx x = 111111111101 121030010010 rrr
