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1、线性方程组 倪卫明第五讲 线性方程组 行列式 1 线性方程组解的一般理论. 1非齐次线性方程组的解. 2齐次线性方程组的解. 2 向量组的线性关系. 1线性组合. 2向量组的等价. 3线性相关与线性无关. 4极大线性无关组. 5向量组的秩. 3 线性方程组的解结构 1非齐次线性方程组的解结构. 2齐次线性方程组的解结构. 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组 线性方程组: n X j=1 aijxj=bi,(i=1,2,.,m)(1) 写成矩阵形式: Ax=b(2) 其中 A= a11a12a1n a21a22a2n . . . . . . . . . am1am2amn ,x= x1 x2
2、. . . xn ,b= b1 b2 . . . bm 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组解与增广矩阵关系 线性方程组解的情况完全取决于系数矩阵A和向量b, 即增广矩 阵A= Ab , 且线性方程组与它的增广矩阵一一对应. 解线性方程组的消元法等价于对增广矩阵实施行初等变换. 线性方程组Ax=b中, 若b6=0则称Ax=b为非齐次线性方程; 若非齐次线性方程组有解, 则称方程组相容, 否则称为不相容. 当 方程组相容时, 它可能有唯一解, 也可能有无穷多解. 若b=0, 称Ax=0为齐次线性方程组; 齐次线性方程组总有解, 因零向量就是方程组的一个解, 常称这个解为齐次方程组的平凡 解. 因
3、此, 一般更关注齐次线性方程组是否存在非零解, 以及它的 解结构. 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组的解理论 非齐次线性方程 Ax=b,(3) 其中,ARmn,bRm,xRn. (相容)定理 非齐次线性方程组(3)相容的充要条件: rA=rank(A)=rankAb =rA 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组的解理论 1 当rank(A)6=rankAb , 方程组(3)不相容, 无解. 2 当r =rank(A)=rankAb , 方程组(3)相容. 1若r =n, 则方程组(3)有唯一解. 2若r t, 则向量组a1,a2,.,as必线性相关. 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组
4、极大线性无关组与向量组的秩 定义 设向量组a1,a2,.,as中的一部分向量组ai1,ai2,.,air, 若它满足 条件: (1) 线性无关. (2) 再加入原向量组中任意其他一个向量(若有的话)所形成的新 的部分向量组都线性相关. 则称向量组ai1,ai2,.,air为向量组a1,a2,.,as的极大线性无关 组. 称极大线性无关组中向量个数为原向量组的秩. 性质: 1 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价, 且所含向量 的个数相等. 2 矩阵的秩等于矩阵的列向量构成的向量组的秩, 也等于矩阵 的行向量构成的向量组的秩. 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组解的结构 齐次线性方程组 A
5、x=0(6) 其中A为mn矩阵. 定理 设x1,x2,.,xk为齐次线性方程组(6)的解, 则它的任意线性组合 均是方程组(6)的解. 设集合S = x|Ax=0“ 包含方程组(6)的所有解向量, 则S的任 一极大线性无关组称为齐次线性方程组(6)的基础解系. 定理 当齐次线性方程组(6)有非零解时, 一定有基础解系, 且基础解系 的秩等于nrank(A). 倪卫明第五讲 线性方程组 线性方程组解的结构 非齐次线性方程组 Ax=b(7) 其中A为mn矩阵, 其对应的齐次线性方程组为式(6). 定理 设x为非齐次线性方程组(7)的一个特定的解(称为特解),y为其 相应齐次线性方程组的解, 则(7)的通解可表示为 x=x+y(8) 倪卫明第五讲 线性方程组
