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1、第4章 随机变量与数学期望,胡良剑 东华大学理学院 L 第2学院楼543,内容提要,4.1 随机变量 4.2 随机变量的类型 4.3 随机变量的联合分布 4.4 数学期望 4.5 期望的性质 4.6 方差 4.7 协方差和相关系数 4.8 矩母函数 4.9 切比雪夫不等式和大数定律,4.1 随机变量,随机变量：定义于样本空间S上的函数。随机变量的取值具有随机性，我们对它的取值及对应的概率感兴趣。,4.1 随机变量,例4.1.1令随机变量表示两颗相同骰子的点数之和. 则,4.1 随机变量,随机变量的分布函数F()：定义于实数域R上的函数 性质：分布函数F()单调上升，且,4.1 随机变量,例4.
2、1.3 假设随机变量有如下的分布函数 求大于1的概率。,4.2 随机变量的类型,离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列i, i=1,2, 。 概率质量函数 性质：,4.2 随机变量的类型,例4.2.1 已知随机变量的概率质量函数满足 求常数c的值，并求的分布函数。,4.2 随机变量的类型,4.2 随机变量的类型,连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。 概率密度函数f()：对任意一个实数集B有 性质1： 性质2：设连续型随机变量的分布函数F()连续且,4.2 随机变量的类型,性质3 注意： 连续性随机变量单点概率为0 密度f()不是概率，可以大于1.,4.2 随机变量的类型,例4.
3、2.2设为一连续型随机变量,其概率密度函数为 试求C的值以及P1 。,习题,P86 e1, e4, e8,4.3 随机变量的联合分布,随机变量和Y的联合分布函数 性质： 与，Y各自的分布函数F()及FY(y)的关系,4.3 随机变量的联合分布,二维离散型随机变量：联合概率质量函数 性质 与，Y各自的概率质量函数的关系,4.3 随机变量的联合分布,例4.3.1 假设有3个电池是从一组3个新电池，4个旧电池，和5个坏电池中随机选择的。如果用和Y来分别表示被选中的新电池的个数和旧电池的个数，求和Y的联合概率质量函数。,4.3 随机变量的联合分布,4.3 随机变量的联合分布,二维连续型随机变量：联合概
4、率密度函数f(,y),对二维实平面里的任意集合C有 性质1 性质2,4.3 随机变量的联合分布,与，Y各自的概率密度函数（边缘密度函数）的关系,4.3 随机变量的联合分布,例4.3.3 和Y的概率密度函数为 计算(a)P1,Y1；(b)PY； (c)Pa（a0）。 解：用公式,4.3 随机变量的联合分布,随机变量的独立性: 设和Y为两个随机变量，若对任意两个实数集A和B，有 则称与Y相互独立。,4.3 随机变量的联合分布,一般随机变量独立等价性条件(分布函数)： 离散型随机变量独立等价性条件(质量函数)： 连续型随机变量独立等价性条件(密度函数)：,4.3 随机变量的联合分布,例4.3.4 设
5、和Y为相互独立的随机变量且有相同的密度函数， 试求随机变量/Y的密度函数。 解： 第一步，求/Y的分布函数； 第二步，分布函数求导，得密度函数。,4.3 随机变量的联合分布,推广到n维随机变量的联合概率分布。 联合分布函数 独立性,4.3 随机变量的联合分布,P86e7 假设某一收音机电子管的寿命是一随机变量，且其概率密度函数为： 令Ei, i=1,2,3,4,5表示在前150个小时内第i个电子管需要更换，且其相互独立。求在前150个小时内，收音机内2/5的电子管需要更换的概率为多少？,习题,P86 e9, e10, e11, e13, e17,4.4 数学期望,离散型随机变量的数学期望 例4
6、.4.1令为掷一颗骰子所得到的点数，求E。,4.4 数学期望,信息度量的性质: (i)如果=的可能性p越小，那么消息=的信息量I(p)就应该越大。 (ii) I(pq)=I(p)+I(q). 考虑取值于1, , n的随机变量，对应的概率分别为p1,pn。用I(pi)= -log2(pi)代表=i所传达的信息量. 当的取值发生改变时所传达的信息量的期望值为 信息论中，H()被称为随机变量的熵。,4.4 数学期望,连续型随机变量的数学期望 例4.4.4 (改)假设你在等18路公交车，由你的经验知道，你需要等的分钟数是一个随机变量，其概率密度函数为： 求等待公交车到来需要时间的期望。,4.5 期望的
7、性质,例4.5.1 （启发性的例子）假设的概率质量函数 P(0)=0.2, P(1)=0.5, P(2)=0.3 计算E2。,4.5 期望的性质,命题4.5.1（随机变量函数的期望） (1)离散型：若是概率质量函数为p()的离散随机变量，则对任意实值函数g()， (2)连续型：若是概率密度函数为f()的连续随机变量，则对任意实值函数g()，,4.5 期望的性质,命题4.5.1（随机变量函数的期望） (3) 二元离散型：若(,Y)是概率质量函数为p(,y)的二维离散型随机变量，则对任意实值函数g(,y)， (4)二元连续型：若(,Y)是概率密度函数为f(,y)的二维连续型随机变量，则对任意实值函
8、数g(,y) ，,4.5 期望的性质,例4.5.2 某厂找到并修复电力中断所需的时间(小时)是一个随机变量，称为，其密度函数 如果当故障持续时间为，修复的费用为3，那么这种故障的预期费用是多少？ 方法一：先求Y=3的密度函数，再求Y期望； 方法二：利用命题4.5.1（计算较简单）。,4.5 期望的性质,数学期望的性质 线性性质：若a和b是常数，则 随机变量和的期望： 当与Y独立时，EY=E EY（证明）. 最小方差性质：对任意实数c,最小方差性质说明均值是随机变量的最佳预测,4.5 期望的性质,例4.5.7 假设有20种不同类型的优惠券。随机取10张优惠券，计算其中包含不同种类型数量的期望值。
9、 方法一：求不同种类型数量的概率质量函数(很难)； 方法二：将分解成20个随机变量i的和, i的期望容易算，再利用随机变量和的期望性质。,习题,P88 e26, e27, e30(b)改为利用命题4.5.1), e33, e36,4.6 方差,方差： 标准差 方差的计算 例4.6.1 掷一枚骰子，计算所得点数的方差。,4.6 方差,方差的性质 常数的方差为0. 二次齐次性质（常数提出去要加平方）：,4.7 协方差和相关系数,协方差的定义 协方差的计算 特别地, 当 ，称与Y不相关。 若与Y独立，则与Y不相关（注意反过来不成立）,4.7 协方差和相关系数,反例：与Y不相关，但不独立,4.7 协方
10、差和相关系数,协方差的性质 对称性 双线性性 可加性,4.7 协方差和相关系数,方差的可加性 一般地， 独立（或不相关）情形： 注意,4.7 协方差和相关系数,例4.7.2 将10枚硬币扔在地上，计算正面朝上数的期望和方差。 解：直接求正面朝上数的概率质量函数很难。 技巧：将分解为若干个独立随机变量i的和。 注意：例4.5.7用这种分解方法只能求期望，不能求方差，因为那里各项不独立。,4.7 协方差和相关系数,相关系数的定义 相关系数的性质(证明方法类似于第2章样本相关系数) Corr(,Y)=1或-1，当且仅当和Y线性相关，即P(Y=a+b)=1 (当b0, 相关系数为1; 当b0, 相关系
11、数为-1)。,4.7 协方差和相关系数,证明：令=-E, =Y-EY, 对于任意t, 那么 即 且等式仅当 P(+t=0)=1时，等式成立。从而得证。,习题,P90 e43(z改为), e45(表格见下图), e50, e52,4.8 矩母函数,随机变量的n阶矩 随机变量的矩母函数,4.8 矩母函数,矩母函数的性质 与矩的关系 当与Y独立 随机变量的矩母函数和其分布函数之间存在一一对应的关系。,4.9 切比雪夫不等式和大数定律,命题4.9.1 (马尔科夫不等式)若为一个非负随机变量，则对于任意a0， 命题4.9.2 (切比雪夫不等式)假设为期望为，方差为2，则对于任意k0,4.9 切比雪夫不等
12、式和大数定律,切比雪夫不等式变形： 比较：样本切比雪夫不等式：设 则对任意k 0, 其中|Sk|表示Sk中元素个数。,4.9 切比雪夫不等式和大数定律,例4.9.1 假设工厂一周生产产品的数量是一个随机变量，且其期望为50。 估计一周产量超过75的概率。 如果某周产量的方差为25，估计这周产量在40和60之间的概率。,4.9 切比雪夫不等式和大数定律,问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充分大)，那么样本均值 与总体均值有什么关系？ 定理4.9.1 (弱大数定律)令1, 2, 为一列独立同分布的随机变量，且其期望为Ei= ，方差有限。则对于任意0， 说明：样本均值可用于估计总体均值。,4.9 切比雪夫不等式和大数定律,实际问题：彩票中奖率30%，那么买50张彩票，猜猜有多少张中奖？ 推论(概率的频率意义)：设在n次独立重复实验中，事件A发生了nA次，那么对于任意0， 说明：频率可用于估计概率。,习题,P92 e53，e55, e56,
