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1、3.2 一维双原子链的振动(一维复式格子的振动),3.2.1运动方程及色散关系,表示所有原子均以频率振动，波矢为q。,色散曲线,周期性边界条件,N个原胞，2N个原子,3.2.3 声学波和光学波,(1)声学波,长声学波可看成是在连续介质中传播的弹性波。,此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动.,长声学波除热激发外，还可以用超声波激发。 应用：超声波点焊机，集成电路。图,超声波点焊机,同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的振幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波描述了原胞中原子相对质心的运动。,(2) 光学波,返回,返回,光学波可用光波的电磁场激发，即称为光学波。,3. 晶格振动的一
2、般结论*,(1)晶格振动的波矢数晶体中的原胞数 (2)晶格振动的模式数晶体中原子的自由度数 (3)晶格振动的格波支数晶体原胞的自由度数,自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数 自由度=mnN,返回,4 三维晶格振动,示意图,硅晶体的倒易原胞,硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）6个正方形的面中心对应于倒易点阵的6个矢量，8个正六边形的面对应于倒易空间的8个矢量。,硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方）,2支横声学波,2支横光学波,各自发生了简并,重合,5.三维晶格振动模型,Nl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量 波的数学
3、形式可以表示为波动函数 晶格振动模型可以看作是三维的弹簧模型，第l个原胞中的第m个原子的位置记为,此原子的平衡位置记为,其中 是原胞顶点的格矢量， 是原胞内某个原子的中心与原胞顶点的距离。,这个原子离开平衡位置的位移记作：,晶格谐振理论,原子的平衡位置在对应的晶格格点上。 位移与原子间距比是小量，可以用简谐近似。 平衡位置由原子结合势决定， 两个原子之间的结合势可用对势函数 表示,一对原子产间的净相互作用力，正比于原子间距一对理想晶格格点之间的偏移：,三维晶格振动系统中每个原子的波函数为：,这个晶格振动的波动函数只在分立的格点R0处有值。,其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下，每个允许
4、的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大于横向弹性系数。 上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具有不同频率j(k)的晶格振动波。 当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3na振动模式，故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为3na 3只光学支和3 只声学支，其中声学支的特点是在FBZ的中心，谐振频率为零，即 （q=0）=0。,根据玻恩卡门条件，三维晶体中的波矢：,la为整数，La为三个方向上的原胞数。,当k变动时,为倒易空间中任意矢量,波矢k在FBZ中取值，共有NL种取值，等于原胞数。总简正模式数是3naNL。,长声学波
5、（q0）反映了原胞的整体振动，长光学波反映了原胞内各原子之间的相对振动。 一般情况下，原子的振动方向既不平行，也不垂直于q（格波前进方向），只在一些特殊方向（通常是布里渊区的对称轴方向）格波才可以分解成两个频率简并的横波（振动方向与格波行进方向垂直）和一个纵波（振动方向与格波行进方向垂直） 。 如果晶体是简单晶格（原胞只含一个原子），则只有3 支声学波，而无光学波。 由于晶体的对称性，如（q）=(-q)，只要计算FBZ中的一部分就可得到全部的。,说 明,晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。 故q的取值为lb/n，即l2/na时，意味着格波波长 为na/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且格波与晶面垂直。 可见晶体边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。,作业： 1. P83页 3.4(1)(2) 2. 试根据声学波计算公式，当q0时，,粗略计算NaCl中的纵波声速，其中a=2.81，32N/m，Na的原子的序数是23，Cl的原子序数是35，质子的质量是1.6710-27kg。,
