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1、第三章 多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验,3.1 均值向量的检验 3.2 协差阵的检验 3.3 附注,本章学习目标,熟练掌握多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验的基本思想、基本步骤以及统计量的选取。掌握 Hotelling 分布和 Wilks 分布的定义。会运用假设检验的方法解决实际的问题。,假设检验的步骤,第一步：提出待检验的假设 和 ； 第二步：给出检验的统计量及它服从的分布；第三步：给定检验水平 ，查统计量的分布 表，确定临界值 ，从而得到否定域；第四步：根据样本观测值计算出统计量的值，看 是否落入否定域中，以便对待判假设检验做出决策。,3.1 均值向量的检验,Hotelling
2、 分布均值向量的检验单个正态总体均值向量的检验 协差阵已知时的检验 协差阵未知时的检验两个正态总体均值向量的检验 协差阵相等时 协差阵不等时多个正态总体均值向量的检验,3.1 均值向量的检验,1 Hotelling 分布 定义：设 则统计量 的分布为非中心Hotelling 分布，记为 当 ，称 服从（中心）Hotelling 分布，记为 。 （这个统计量的分布首先由 Harold Hotelling 提出来的，我国著名统计学家许宝騄先生在1938年用不同的方法也导出了此分布的密度函数）,在一元统计中，若 来自总体 的样本，则统计量： 其中 显然， 与上面给出 的统计量形式类似。 分布是一元统
3、计中 分布的推广。,基本性质： 定理 若令 ，则,2 均值向量的检验,设 元正态总体 ，从总体中抽取容量为 的样本 已知时均值向量的检验 检验统计量： 给定检验水平 ，查 分布表，可确定出临界值 ，再用样本值计算出 ，判断是否接受 。 思考： 统计量的选取 ，联系一元统计为什么取这样的统计量；二这个统计量为什么服从这样的分布 。, 未知时均值向量的检验 检验统计量： 其中 给定检验水平 ，查 分布表，确定出临界值 ,判断是否接受原假设。 统计量的选取：当 未知时，用 的无偏估计 来代替，而样本离差阵,Hotelling,3 协差阵相等时，两个正态总体均值向量的检验,（1）有共同协差阵时 检验统
4、计量： 给出检验水平 ，查表，确定出临界值。 思考：这个统计量当 时是我们学习过的三大统计量中的哪一个？,检验统计量： 其中： 给定检验水平，做出判断,下述假设检验统计量的选取和前面的思路是一样的，只给出统计量和分布。 4 协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验 分两种情况： 令检验统计量：, ，不妨假设 令检验统计量：,5 多个正态总体均值向量的检验,复习一元方差分析Wilks 分布多个正态总体均值向量的检验,5 多个正态总体均值向量的检验, 复习一元方差分析（单因素方差分析） 多元方差分析是一元方差分析的推广 ，先复习一元方差分析。, Wilks分布 在一元总体中，方差是刻划随机变量分散
5、程度的一个重要特征，而方差概念在多变量情况下变为协差阵。使用一个数量指标来反映协差阵所体现的分散程度的方法很多，我们用行列式这种方法。,定义 1 若 ，则称协差阵的行列式 为 的广义方差。称 为样本广义方差。其中 。 定义 2 若 且 和 相互独立，则称 为Wilks 统计量， 的分布称为Wilks 分布，其中 为自由度 在实际应用中，经常把 统计量化为 统计量进而化为 统计量，利用 统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。, 得到下面的关系式： ,对一些特殊的 统计量可以化为 统计量，而当 ，可用 统计量或 统计量来近似表示。, 多个正态总体均值向量检验,给定检验水平,查 Wilks 分布表
6、，确定临界值，作出判断。 当查 Wilks 分布表不方便时，可用的 或 来近似。 想一想：Wilks分布与 ， 的关系。,3.2 协差阵的检验,一个正态总体协差阵检验 多个协差阵相等检验,1 一个正态总体协差阵检验,2. 多个协差阵相等检验,例 1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系。今测20名健康成年女性的出汗多少 其数据如下：,例 2 为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异，今从两国在华投资企业中各抽10家，让其对中国的政治、经济、法律、文化等环境进行打分，其结果如下表：,3.3 附注,为了便于和国际接轨，简单介绍一下现代国际统计学关于显著性检验的做法，它与国内多数统计教科书及期刊论文的处理方法不同。,
