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1、12009-2010 第二学期数学模型 期末考试承 诺 书我完全明白，在期末考试不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与题有关的问题。我知道，抄袭别人的成果是违反考试规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我郑重承诺，严格遵守考试规则，以保证考试的公正、公平性。如有违反考试规则的行为，我将受到严肃处理。专业名称 ： 1. 数学与应用数学 考试题目 ： 2. 流感疫苗接种问题 姓名 (打印并签名) ：3. 刘学江 班级： 4. 2008 级 1 班 学号： 5. 20
2、08060122 成绩： 6. 日期： 2010 年 06 月 05 日2目录零 封面. . . .1一流感疫苗接种的数学模型. .21. 摘要 . .22. 问题的重述. .23. 问题的分析. .24. 详细设计. .44.1 初等数学模型. . .44.2 房室模型模型的建立. . . . . .95. 模型检验. .17二 总结. .22三 参考文献. . . . . . . . . . . . . . .22 3一流感疫苗接种的数学模型1摘要本文通过初等数学模型，病毒指数增长模型，Logistic 模型，SIS 模型，SIR 模型，随机房室模型分析菌种 1、2 的感染人数，计算相应的
3、疫苗接种人数和患病人数，通过模型间的对比找出用尽可能少的疫苗预防尽可能多的人数。对病毒指数模型只作定性分析，重点讨论:初等数学模型，随机房室模型，SIS 模型，SIR 模型。关键词：流感病毒菌种指数生长模型 随机房室模型 SIS 模型 SIR 模型 Logistic 模型2问题的重述流感病毒有两种菌种，现已研制成两种疫苗。疫苗 1 对菌种 1 有 85的预防效果，对菌种 2 有 70的预防效果；疫苗 2 对菌种 1 有 60的预防效果，对菌种 2 有 90的预防效果。两种疫苗不能在一个人身上同时使用。(1)为使尽可能多的居民具有免疫力，需要进一步了解那些信息？(2)为使尽可能多的居民具有免疫力
4、，应采取何种接种疫苗的策略？(3)在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计） 。3问题的分析问题 1：针对问题 1 主要从以下 3 方面进行：（1） 菌种角度：1、菌种的传播方式 2、菌种的传播能力 3、菌种的首次感染率 4、菌种的生长方式 5、菌种的致死率 6、菌种的交叉感染率 7、菌种的再次感染能力4（2） 疫苗角度：1、疫苗的预防能力菌种 1 2疫苗1 0.85 0.72 0.6 0.92.、疫苗的数量 3、疫苗的接种限制 4、疫苗的价格 5、疫苗的有效期（3） 地区角度：1、该地区的总人口数 2、初始时刻感染人数3、地区的预防效率 4、每人感染
5、后的接触人数 5、每种菌种的治愈可能问题 2:“民具有免疫力，应采取何种接种疫苗的策略”采用模型对比法找出最佳接种策略，免疫人数 P=P1 接种疫苗人数-P2 接种疫苗后患病人数，为使 P 尽可能的大可以使 P1 尽可能的大 P2 尽可能的小，但在实际接种过程中考虑人力和财力因素不可能使接种疫苗的人数无限制的多，反而是在高效的前提下尽可能得节约疫苗对人力财力和居民健康也有好处，这里采取的接种方式是对感染者周围的一定人群接种，对其余人群均不接种疫苗，所以对疫苗的接种数和有效性是问题 2 的关键。问题 3： “在采取你所推荐的策略的情况下，估计有多少居民具有免疫力(平均的估计和最坏情况的估计” 。
6、通过相关参数的不同设置拟合出平均和最坏情况4详细设计符号说明：P 表示感染或患病人数 N 表示该地区总人口 n 表示菌种感染者接触的人数 t 表示时间 K 表示某些比例系数 c 表示菌种致死率 m 表示疫苗不能接种的人数比例4.1 初等数学模型模型 1 设 t 时刻的病人数 X（t）是连续可微函数，设每人接触的人数是 n, 从 t 到 t+t 时刻病人人数的增加，X(t+t)- X（t ）=n *X（t ）*t 设初始时刻有 X。,得微分方程 dx/dt=n*x,x(0)= X。解得 X（ t）=n*exp(n*t),病人数呈指数增长不符合实际情况，根据 SIS 模型 SIR5模型 Logis
7、tic 模型 理论感染人数不可能无限制的增长，如下图所示。针对疫苗接种情形通常在病情初发期进行的，所以可以将病人数看做指数型增长对菌种 1、2 建立不同的指数接触人数增长模型： P1t、P2t 表示 t 时刻人数，在从 t 到 t+t 时刻可能感染菌种 1 的病人人数的增加为 P1(t+t)- P1t=n1* P1t*t , P1t(0)=P10 得 解得 P1t=P01*exp(n1*t) 除去原始感染菌种 1 人数剩下的就是0)(*Ptndp被接触人数，也就是需要接种疫苗的目标人数将 P1t 修正为 P1t=P01*exp(n1*t)-P01在从 t 到 t+t 时刻可能感染菌种 2 的病
8、人人数的增加为 P2(t+t)- P2t=n2* P2t*t , P2t(0)=P20 得 解得 P2t=P02*exp(n2*t) 除去原始感染菌种 2 人数剩下0)(*2Pttndp的就是被接触人数，也就是需要接种疫苗的目标人数将 P2t 修正为6P2t=P02*exp(n2*t)-P02由于菌种 1、2 均有致死率 c1、c2，还要在感染的基础上除去死亡人数则菌种 1 在 t 时刻的感染人数：P1t=P01*exp(n1*t) （1-c1） 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。.菌种 2 在 t 时刻的感染人数为：P2t=P02*exp(n2*t)(1-c2
9、)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。.若采用疫苗 1 接种具有免疫力的人数P1=P1t*0.85+P2t*0.7。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 若采用疫苗 2 接种具有免疫力的人数P2=P1t*0.6+p2t*0.9。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。. 比较 P1 、P2 的大小就可以得到采用哪种疫苗作为接种策略。在实际接种中常常采用不同疫苗针对不同菌种的接种方法，因此模型的接种策略需要修正。模型 2对模型进行修正：菌种 1 2疫苗1 0.
10、85 0.72 0.6 0.9疫苗 1、2 针对菌种的预防能力由上表可知对菌种 1 采用疫苗 1 接种最高效啊，对菌种 2 采用疫苗 2 接种最高效。因此对模型一的 进行修正得到新的免7疫人数：P=P1t*0.85+P2t*0.9 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。在实际疫苗接种工作每种疫苗都有不能接种的人群，在这里假设疫苗不能接种的人数比例为 m1,疫苗 2 不能接种的人数比例为 m2 因此对还需啊哟修正：P= P1t(1-m10*0.85+P2t（1-m2）*0.9。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
11、 。 。 。 。带入各项数据得：P= P01*exp(n1*t)（1-c1）(1-m1)*0.85+ P02*exp(n2*t)(1-c2)（1-m2）*0.9。 。 。采用 C 语言编程：#include(math.h)#include(stdio.h)Void mian()double n1,n2,c1,c2,m1,m2;/*定义疫苗感染者的接触人数 n，菌种的致死率c，疫苗不能接种的人群比例 m*/Int t； /*定义时间*/Double P1t,P2t;/*t 时刻防疫菌种 1、2 的人数*/Double p;/*最后的防疫总人数*/Int P01，P02;/* 定义初始时刻的菌种感染人数 */Double P1t,P2t;；/*定义菌种 1。2 在 t 时刻的感染人数 */Printf(“please input t:n”);Scanf(“%f”,&t);/*录入时间*/Printf(“请输入初始时刻感染各菌种的人数n”);Scanf(“%f，%f”,&Tp01,&P02);/* 录入初始感染是、8人数*/Printf(“请输入菌种 1、2 的致死率：n”);Scanf(“%f,%f”,&c1,&c2);/*录入菌种死亡率*/Printf(“录入两种疫苗不能接种人群的接种比例:n”)；S
