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1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金,不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。(三)空间向量与立体几何(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是()A.B(1,3,2)C. D【解析】a(1,3,2)2.【答案】C2两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n(1,0,1),则两平面间的距离是()A. BC. D3【解析】两平面间的距离d.【答案】B3已知A(2,4,1)
2、,B(1,5,1),C(3,4,1),D(0,0,0),令a,b,则ab为()A(5,9,2) B(5,9,2)C(5,9,2) D(5,9,2)【解析】a(1,0,2),b(4,9,0),ab(5,9,2)【答案】B4在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,若a2b3c,则abc的值等于() 【导学号:15460084】A. BC. D【解析】a2b3c,a1,b,c,abc.【答案】D5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,下列结论不正确的是()A. B0C.0 D0【解析】如图,故A,B,C选项均正确【答案】D6已知向量a,b是平面内的两个不相等的非零向量,非零向量c在直线l上,
3、则“ca0,且cb0”是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若l,则l垂直于内的所有直线,从而有ca0,cb0.反之,由于a,b是否共线没有确定,若共线,则结论不成立;若不共线,则结论成立【答案】B7已知ABC的三个顶点为A(3,3,2),B(4,3,7),C(0,5,1),则BC边上的中线长为()A2B3 C4D5【解析】设BC的中点为D,则D(2,1,4),(1,2,2),|3,即BC边上的中线长为3.【答案】B8若向量a(x,4,5),b(1,2,2),且a与b的夹角的余弦值为,则x()A3 B3C11 D3或11【解析】因为ab(x,4,
4、5)(1,2,2)x810x2,且a与b的夹角的余弦值为,所以,解得x3或11(舍去),故选A.【答案】A9.如图1,在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()图1A. BC. D【解析】以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),(2,0,1),(2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量cos,.sin1,|cos1,|,BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.【答案】D10已知正四棱柱ABC
5、DA1B1C1D1中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. BC. D【解析】以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA12AB2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则(0,1,0),(1,1,0),(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x,y,z),则n,n,所以有令y2,得平面BDC1的一个法向量为n(2,2,1)设CD与平面BDC1所成的角为,则sin |cosn,|.【答案】A11已知正方体ABCDA1B1C1D1中,若点F是侧面CD1的中心,且mn,则m,n的值分别为()A., B,C, D,【解析】由于()
6、,所以m,n,故选A.【答案】A12在矩形ABCD中,AB3,AD4,PA平面ABCD,PA,那么二面角ABDP的大小为()A30 B45C60 D75【解析】如图所示,建立空间直角坐标系,则,(3,4,0)设n(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,则得即令x1,则n.又n1为平面ABCD的一个法向量,cosn1,n,所求二面角为30.【答案】A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在题中的横线上)13若a(2x,1,3),b(1,2y,9),且a与b为共线向量,则x_,y_. 【导学号:15460085】【解析】由题意得,x,y.【答案】14ABC的三个顶点坐标分别为A(
7、0,0,),B,C(1,0, ),则角A的大小为_【解析】,(1,0,0),则cos A,故角A的大小为30.【答案】3015在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,2,3),B(2,1,1),若直线AB交平面xOz于点C,则点C的坐标为_【解析】设点C的坐标为(x,0,z),则(x1,2,z3),(1,3,4),因为与共线,所以,解得所以点C的坐标为.【答案】16.如图2,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.图2给出以下结论:0;0;0;0,其中正确结论的序号是_【解析】容易推出:0,所以正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SASB
8、SCSD2,所以22cosASB,22cosCSD,而ASBCSD,于是,因此正确;其余三个都不正确,故正确结论的序号是.【答案】三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图3,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PDQA,QAABPD.图3(1)证明:平面PQC平面DCQ;(2)证明:PC平面BAQ.【证明】如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0),所以0,0
9、,即PQDQ,PQDC且DQDCD.故PQ平面DCQ.又PQ平面PQC,所以平面PQC平面DCQ.(2)根据题意,(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0),故有0,0,所以为平面BAQ的一个法向量又因为(0,2,1),且0,即DAPC,且PC平面BAQ,故有PC平面BAQ.18. (本小题满分12分)如图4,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC90,ABBC1,AA1,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值图4【解】因为,且0,所以()()21.又|,|,所以cos,则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.19.(本小题满分12分)如图5,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的
10、点图5(1)求证:平面PBC平面PAC;(2)若AB2,AC1,PA1,求二面角CPBA的余弦值【解】(1)证明:由AB是圆的直径,得ACBC,由PA平面ABC,BC平面ABC,得PABC.又PAACA,PA平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为BC平面PBC.所以平面PBC平面PAC.(2)过C作CMAP,则CM平面ABC.如图,以点C为坐标原点,分别以直线CB,CA,CM为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系在RtABC中,因为AB2,AC1,所以BC.又因为PA1,所以A(0,1,0),B(,0,0),P(0,1,1)故(,0,0),(0,1,1)设平面BCP的法向量为n1(
11、x1,y1,z1),则所以不妨令y11,则n1(0,1,1)因为(0,0,1),(,1,0),设平面ABP的法向量为n2(x2,y2,z2),则所以不妨令x21,则n2(1, ,0)于是cosn1,n2.由图知二面角CPBA为锐角,故二面角CPBA的余弦值为.20. (本小题满分12分)如图6,在四棱锥PABCD中,ADBC,ABAD,ABPA,BC2AB2AD4BE,平面PAB平面ABCD.图6(1)求证:平面PED平面PAC;(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为,求二面角APCD的余弦值【解】(1)证明:平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCDAB,ABPA,PA平面ABC
12、D,又ABAD,故可建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,不妨设BC4,AP(0),则有D(0,2,0),E(2,1,0),C(2,4,0),P(0,0,),(2,4,0),(0,0,),(2,1,0),4400,0,DEAC,DEAP且ACAPA,DE平面PAC.又DE平面PED,平面PED平面PAC.(2)由(1)知,平面PAC的一个法向量是(2,1,0),(2,1,),设直线PE与平面PAC所成的角为,sin |cos,|,解得2.0,2,即P(0,0,2),设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z),(2,2,0),(0,2,2),由n,n,不妨令x1,则n(1,1,1)cosn,显然二面角APCD的平面角是锐角,二面角APCD的余弦值为.21.(本小题满分12分)如图7,四棱锥PABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BAAD,CDAD,CDAD2AB,PA底面ABCD,E是PC的中点图7(1)求证:BE平面PAD;(2)若BE平面PCD,求异面直线PD与BC所成角的余弦值;求二面角EBDC的余弦值【解】设ABa,PAb,建立如图的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),P(0,0,b),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),E.(1),(0,2a,0),(0,0,b),所以,因为BE平面PAD,所以BE