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1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金，不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。第3课时空间向量与空间角1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角.(重点、难点)2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系.(易错点)基础初探教材整理空间角的向量求法阅读教材P106P110的内容，完成下列问题.角的分类向量求法范围两异面直线l1与l2所成的角设l1与l2的方向向量为a，b，则cos _直线l与平面所成的角设l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin _二面角l的平面角设平面，的法向量为n1，n2，则|cos |_0，【答案】|cosa，b
2、|cosa，n| |cosn1，n2|已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A.30 B.60C.150D.120【解析】设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，应选B.【答案】B小组合作型求异面直线所成的角如图3220，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值.图3220【精彩点拨】【自主解答】由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)
3、.当时，在RtVCD中，CD，V(0,0, )，(2,0,0)，(1,1，)，cos，.异面直线AC与VD所成角的余弦值为.1.几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.2.由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意.再练一题1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.【解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y
4、轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3).设与的夹角为，则cos ，故与的夹角的余弦值为，即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.求线面角如图3221所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAACAB，N为AB上一点，AB4AN，M，S分别为PB，BC的中点.图3221(1)证明：CMSN; 【导学号：37792141】(2)求SN与平面CMN所成角的大小.【精彩点拨】(1)怎样建立坐标系？(2)向量与满足什么关系时有CMSN成立？(3)的坐标是多少？平面CMN的一个法向量怎么
5、求？与平面CMN的法向量的夹角就是SN与平面CMN所成的角吗？【自主解答】设PA1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又ANAB，M，S分别为PB，BC的中点，N，M，S，(1)证明：，0，因此CMSN.(2)，设a(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，a0，a0.则取y1，得a(2,1，2).因为cosa，.a，.所以SN与平面CMN所成的角为.1.本题中直线的方向向量与平面的法向量a的夹角并不是所求线面角，它们的关系是sin |cos，a|.2.若直线l与平面的夹角为，利用法向量计
6、算的步骤如下：再练一题2.设在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA12，BAC90，E，F依次为C1C，BC的中点.试求A1B与平面AEF的夹角的正弦值. 【导学号：37792142】图3222【解】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，所以(2,0，2)，(0,2,1)，(1,1,0).设平面AEF的一个法向量为n(a，b，c)，由得令a1，可得n(1，1,2).设A1B与平面AEF的夹角为，所以sin |cosn，|，即A1B与平面AEF的夹角的正弦值为.探究共研型求二面角探究如何利用向
7、量求二面角的大小？【提示】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.如图3223，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.图3223(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值.【精彩点拨】(1)能否运用线面平行的判定定理求解？(2)如何建立空间直角坐标系，能确定平面DA1C和平面A1CE的法向量，进
8、而利用公式求出二面角的正弦值？【自主解答】(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点.又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBAB，得ACBC.以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2).设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1).同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m(2,1，
9、2).从而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值为.用向量法求二面角的大小，可以避免作出二面角的平面角这一难点，转化为计算两半平面法向量的夹角问题，具体求解步骤如下：(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定二面角的大小.再练一题3.如图3224，在空间直角坐标系Cxyz中，AB是半圆O的直径，ACBC2，DCEB，DCEB，tanEAB，求二面角DAEB的余弦值. 【导学号：37792116】图3224【解】由题可知AB4，tanEAB，可得CDEB1，D(0,
10、0,1)，E(0,2，1)，A(2，0,0)，B(0，2，0)，则(2，2，0)，(0,0,1)，(2，0，1)，(0,2，0)，设平面DAE的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即y10，令x11，则z12，平面DAE的一个法向量为n1(1,0,2).设平面ABE的法向量为n2(x2，y2，z2)，则即z20，令x21，则y21，平面ABE的一个法向量为n2(1,1,0)，cosn1，n2.由图可以判断二面角DAEB为钝角，二面角DAEB的余弦值为.1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A. B.C.D.【解析】建立如图所示的
11、空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1).(2，2,0)，(0,0,2)，(2,0,1).设平面B1BD的法向量为n(x，y，z).n，n，令y1，则n(1,1,0).cosn，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin |cosn，|.【答案】B2.如图3225，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为() 【导学号：37792143】图3225A. B. C. D.【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设
12、AB1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.【答案】D3.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_.【解析】设a(0，1,3)，b(2,2,4)，则cosa，b，又因为两向量的夹角与二面角相等或互补，所以这个二面角的余弦值为.【答案】4.如图3226，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连
13、接GH.图3226(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值.【解】(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB，所以EFDC.又因为EF平面PCD，DC平面PCD，所以EF平面PCD.又因为EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又因为EFAB，所以ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又因为PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直.以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BABPBQ2，则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1,2)，(0，1,2).设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0,1,2).设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0,2,1).所以cosm，n.因为二面角DGHE
