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1、,1.3.2函数的奇偶性,在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？,复习回顾,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.,观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,f(-3)=-3=-f(
2、3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.,f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),引 入课题：,1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1), f(-2) , f(2),及f(-x) ,并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,2.已知f(x)=x3, 求f(0),f(-1),f(1) f(-2
3、),f(2), 及f(-x),并画出它的图象.,解:,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x)3=-x3,思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？,f(-2)=f(2) f(-1)=f(1),f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1),-x,x,f(-x),f(x),-x,f(-x),x,f(x),f(-x)=f(x),f(-x)= - f(x),1.函数奇偶性的概念:,偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.,奇函
4、数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.,问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？,问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？,强调定义中“任意”二字，说明函 数的奇偶性在定义域上的一个整体性质， 它不同于函数的单调性 .,问题2：x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？,问题2：x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？,奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
5、,问题3：结合函数f (x)x3的图象回答以 下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x)关于原点对称点P的坐标 是什么？点P是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？,对奇函数、偶函数定义的说明:,(1).函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。,（2） 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。,练习1.
6、 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，,若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x) = - f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2 = f(x)
7、,f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R, 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:,先求定义域，看是否关于原点对称; 再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。,练习2. 判断下列函数的奇偶性,(2) f(x)= - x2 +1,f(x)为奇函数,f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1,f(x)为偶函数,解：定义域为x|x0,解：定义域为R,= - f(x),= f(x),(3). f(x)=5 (4) f(x)=0,解: f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数,解: 定义域为R f(-x)=0=f(x) 又 f(-x)= 0 =
8、-f(x) f(x)为既奇又偶函数,结论: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(5) f(x)=x2+x,解: f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1) ，f(-1)-f(1) f(x)为非奇非偶函数,解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数,小结：根据奇偶性, 函数可划分为四类:,奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数,-1x 1且x 0,定义域为-1,0) (0,1, f(x) 为奇函数.,= - f(x),能力提高:,证明:偶函数 f ( x ) 在 ( 0 , +)上是减函数,那么 f ( x ) 在( - , 0
9、)上是增函数.,证明: 设X1 X2 0 , 则 -X1 -X2 0 , 函数 f ( x ) 在( 0 , +)上是减函数, f ( - X1 ) f (- X2 ),又 f ( x )是偶函数, f ( - X1 ) = f (X1 ) f ( - X2 ) = f (X2 ),于是 f ( X1 ) f ( X2 ),所以 , 偶函数 f ( x ) 在( - , 0 )上是增函数.,奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,(-a,-f(a),(-a,f(a),2.奇偶函数图象的性质:,2、奇函数的图象,设f(
10、x)为奇函数，则有f(x)=f(x)；,在f(x)图象上任取一点(x，f(x),那么,点(x,f(x)也在函数f(x)的图象上,所以：f(x)的图象关于原点对称,1、偶函数的图象,设f(x)为偶函数，则有f(x)f(x),在f(x)的图象上任取一点(x，f(x),那么,点(x,f(x)也在函数f(x)的图象上,所以：f(x)的图象关于y轴对称,-x,x,f(-x),f(x),f(-x),f(x),x,-x,2.奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称. 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数为奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.,反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称
11、,那么这个函数为偶函数.,注：奇偶函数图象的性质可用于：,.判断函数的奇偶性。 .简化函数图象的画法。,思考:,1. 已知奇函数 y = f ( x ) 在其定义域上是增函数,那么 y = f ( - x ) 在它的定义域上 ( ),A . 既是奇函数,又是增函数. B . 既是奇函数,又是减函数. C . 既是偶函数,又是先减后增函数. D . 既是偶函数,又是先增后减函数.,B,2. 判断下列论断是否正确,练 习,(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域
12、关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.,2. 判断下列论断是否正确,(错),练 习,(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.,2. 判断下列论断是否正确,(错),(对),练 习,(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数
13、，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.,2. 判断下列论断是否正确,(错),(对),(错),练 习,(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.,2. 判断下列论断是否正确,(错),(对),(错),(对),练 习,(1)如果一个函数的定义域
14、关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.,4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)f (x)g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？,3. 如果f (0)a0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？,练 习,4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)f (x)g (x)是不是 偶函数？是不是奇
15、函数？为什么？,3. 如果f (0)a0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？,练 习,(不能为奇函数但可以是偶函数),4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)f (x)g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？,3. 如果f (0)a0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？,练 习,(不能为奇函数但可以是偶函数),(是偶函数),5. 如图，给出了奇函数yf (x)的局部 图象，求f (4).,6. 如图，给出了偶函数yf (x)的局部 图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小.,练 习,o,y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,解：画法略,本课小结:,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。,2.两个性质: 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。,一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。,书面作业： P43 习题6
