《电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波(第4版)第3章部分习题参考解答（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1 长度为的线电荷，电荷密度为常数L 0l 。(1) 计算线电荷平分面上的电位函 数；(2) 利用直接积分法计算平分面上的E ? ，并用E= ? 由(1)验证(2)所得结 果。 图题图题 3.1 解：解：(1) 建立如图题 3.1 所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上 任意点P的电位为 /2 /2 22 00 22/2 0 /2 0 2222 00 22 00 d ( ,0,0)ln( ) 4 4 ( /2)/2( /2)/2 lnln 42 ( /2)/2 L L ll L L ll z zz z LLLL LL =+ + + = + (2) 根据对称性，可得两个对称线电荷元
2、 z l d 0 在点P 的电场为 00 22 3/ 22 0 0 d d ddcos 2( ) 2 ll zz EeEee z z 2 = + + ? ? 故长为的线电荷在点的电场为 LP /2 /2 00 22 3/2 220 00 0 0 22 0 d d 2( )2 4 ( /2) L L ll l zz EEee z z z e L = + + = + ? ? ? 由E= ? 求，有 E ? 22 0 0 22 0 0 0 2222 0 0 22 0 ( /2)/2 ln 2 ln( /2)/2)ln 2 1 2 /2( /2) ( /2) 4 ( /2) l l l l LL E
3、d eLL d e LLL z e L + = = = + = + = + ? ? ? ? 3.2 点电荷位于，另一点电荷 1 qq= 1( ,0,0)Pa 2 2qq= 位于，求空间的 零电位面。 2( ,0,0) P a 解：解：两个点电荷 q+ 和在空间产生的电位 2q 222222 0 12 ( , , ) 4 ()() qq x y z xayzxayz = + 令 ( , , )0x y z= ，则有 222222 12 0 ()()xayzxayz = + 即 22222 4()() 2 xayzxayz+=+ 故得 222 54 ()( 33 2 )xayza+= 由此可见，零
4、电位面是一个以点 5 (,0,0 3 a)为球心、 4 3 a为半径的球面。 3.3 电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数分别为 1 2 2 0, cos , a a Aa = = (1) 求圆柱内、外的电场强度；(2) 这个圆柱是什么材料制成的？其表面上有电 荷分布吗？试求之。 解：解：(1) 由E= ? ，可得 a 时，0E= = ? a 时， 22 ()cos()cos aa EeAeA = = ? ? 22 22 1cos1sin aa e Ae A = + ? (2) 该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面 密度为 n00 2cos S aa
5、 eDeEA = = ? ? 3.4 已知的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？ 0y (1) ；(2) ；(3) cosh y ex cos y ex 2 sin cosex x；(4) sin sin sinxyz。 解：解：在电荷体密度 0= 的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程。 2 0= (1) 222 222 (cosh )(cosh )(cosh ) yyy exexex xyz +=2 cosh y ex 0 所以函数不是空间中的电位解； cosh y ex 0y (2) 222 222 (cos )(cos )(cos ) yyy exexex xyz += c
6、oscos0 yy exex += 所以函数是空间中可能的电位解； cos y ex 0y (3) 222 222 (sin cos )(sin cos )(sin cosexxexxex xyz + )x 22 4sin cos2sin cosexxexx = + 0 所以函数 2 sin cosex x不是 空间中的电位解； 0y (4) 222 222 (sin sin sin )(sin sin sin )(sin sin sin )xyzxyzxyz xyz + 3sin sinsin0xyz= 所以函数sin sin sinxyz不是 空间中的电位解。 0y 3.5 一半径为 0
7、R的介质球， 介电常数为 r0 = ， 其内均匀地分布着体密度为的 自由电荷，试证明该介质球中心点的电位为 2 r 0 r0 21 23 R + 。 解：解：由高斯定理 d S DSq= ? ? ，得 0 rR 时， 3 2 0 2 4 4 3 R r D=，即 3 0 2 2 3 R D r =， 3 01 2 2 00 3 RD E r = 故介质球中心点的电位为 00 00 322 2 000r 120 00 r0r00r0 0 21 (0)dddd() 363232 RR RR RRRr E rErrrR r + =+=+=+= 3 3.6 电场中有一半径为、介电常数为 a的介质球，已
8、知球内、外的电位函数分 别为 3 0 100 2 0 cos cos 2 E ra E r = + + (ra) 0 20 0 3 cos 2 E r = + (ra) 试验证介质球表面上的边界条件，并计算介质球表面上的束缚电荷密度。 解：解：在介质球表面上 00 1000 00 3 ( , )coscoscos 22 aE aaEE a = += + 0 20 0 3 ( , )cos 2 aE a = + 01 00 00 2()3 coscoscos 22 r a EE r 0 E = = = + 02 0 0 3 cos 2 r a E r = = + 故有 12 ( , )( , )
9、aa= ， 12 0r ar a rr = = 可见， 1 和 2 满足球表面上的边界条件。 介质球表面的束缚电荷密度为 n20r2 () PS r a ePeE = = ? ? 002 00 0 3() ()cos 2 r a E r = = + 3.7 两块无限大导体平板分别置于0x =和xd=处，板间充满电荷，其体电荷密 度为 0x d =，极板的电位分别设为0和，如图题3.7所示，求两导体板之间 的电位和电场强度。 0 U ( )x 0= 0 U= 0d x 图题图题 3.7 解：解：两导体板之间的电位满足泊松方程 2 0 = ，故得 2 0 2 0 d1 d x xd = 解此方程，
10、得 3 0 0 6 x AxB d = + 在处，0x =0=，故 0B = 在xd=处， 0 U=，故 3 0 0 0 6 d UAd d = +，得 00 0 6 Ud A d =+ 所以 3 000 00 66 xUd x dd = + 2 000 00 26 xx xUd Eee xdd = = =+ ? ? 3.8 试证明：同轴线单位长度的静电储能 2 e 2 l q W C =。式中为单位长度上的电荷 量，C为单位长度上的电容。 l q 证：证：由高斯定理可求得同轴线内、外导体间的电场强度为 ( ) 2 l q E = 内外导体间的电压为 ddln 22 bb ll aa qqb
11、UE a = 则同轴线单位长度的电容为 2 ln( / ) l q C Ub a = 同轴线单位长度的静电储能为 2 22 2 e 111 d2 dln 2222 22 ll b l Va qq qb WEV aC = 1 3.9 有一半径为a、带电量q的导体球，其球心位于介电常数分别为 1 和 2 的两 种介质分界面上，设该分界面为无限大平面。试求：(1)导体球的电容；(2) 总的 静电能量。 图题图题 3.9 a 2 1 o q 解：解：(1) 由于电场沿径向分布，根据边界条件，在两种介质的分界面上， 故有 1t2t EE= 12 EEE=。由于 111 DE=、 222 DE=，所以 1
12、2 DD。由高斯定理，得 1 122 DSD Sq+= ，即 22 12 22rErEq+= 所以 2 12 2() q E r = + 导体球的电位 2 1212 1 ( )dd 2()2() aa qq aE rr ra = + 故导体球的电容 12 2() ( ) q Ca a =+ (2) 总的静电能量为 2 e 12 1 ( ) 24() q Wq a a = + 3.10 两平行的金属板，板间距离为d，竖直地插入介电常数为的液态介质中， 两板间加电压U，试证明液面升高 0 2 0 0 1 () 2 U h gd = 式中的为液体的质量密度，为重力加速度。 g 图题图题 3.10 d
13、 U0 L h 解：解：设金属板的宽度为a、高度为。当金属板间的液面升高为h时，其电容为 L 0 ()a Lhah C dd =+ 金属板间的静电能量为 0 0 2 2 e0 1 () 22 aU UhLh d WC=+ 液体受到竖直向上的静电力为 0 2 e e0 () 2 aU W F hd = 而液体所受重力 g Fmgahd g= e F与 g F相平衡，即 2 0 0 () 2 aU ahdg d = 故得到液面上升的高度 2 2 000 0 2 ()1 () 22 UU h dggd = 3.11 同轴电缆的内导体半径为，外导体内半径为 ；内、外导体之间填充两层 有损耗介质，其介电常数分别为 ac 1 和 2 ，电导率为 1 和 2 ，两层介质的分界面 为同轴圆柱面，分界面半径为b。当外加电压为时，试求：(1) 介质中的电流
