《高中数学 第一章 三角函数 1_8 函数y=asin（wx＋φ）的图像与性质（2）课件1 北师大版必修41》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1_8 函数y=asin（wx＋φ）的图像与性质（2）课件1 北师大版必修41（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.8 函数y=Asin(x+)的图像与性质(二),【知识提炼】,函数y=Asin（x+）(A0)的性质,k,kZ,【即时小测】 1.思考下列问题 (1)函数y=Asin(x+)的最小正周期是T= 吗? 提示:不是.应为T= .,(2)求函数y=Asin(x+)在,上的值域，当x1=,x2=时的函数值是函数的最值吗？ 提示：不一定，若区间,是函数的单调区间，当x1=,x2=时的函数值是函数的最值，当区间,不是单调区间时，应将x+看作一个整体，结合图像求最值.,2.函数y=2sin 的图像的两条相邻对称轴间的距离为 ( ) 【解析】选B. 故两条相邻对称轴间的距离为 .,3.函数y=cos 的最
2、小正周期为 ,则= ( ) A.10 B.5 C.-10 D.10 【解析】选D.由 解得:=10.,4.函数y=sin 的一个递增区间是 ( ) A.-,0 【解析】选B.因为 所以 当k=0时,显然,5.函数y=sin2x在区间 上的值域为_. 【解析】因为x ,所以2x , 结合图像可得函数的值域为 . 答案:,【知识探究】 知识点 函数y=Asin(x+)的性质 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题:怎样借助正弦函数的性质得到y=Asin(x+)的性质?,【总结提升】 对函数y=Asin(x+)性质的两点说明 (1)借助周期性:研究函数的单调区间、对称性等问题时,可以先研究在一个周期
3、内的单调区间、对称性,再利用周期性推广到全体实数. (2)整体思想:研究当x,时的函数的值域时,应将x+看作一个整体,利用x,求出的范围,再结合y=sin的图像求值域.,【题型探究】 类型一 函数y=Asin(x+)的值域 【典例】(2015衡水高一检测)已知函数f(x)=2sin . (1)求f(x)最小正周期. (2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值及取得最值时x的值.,【解题探究】怎样求函数y=Asin(x+)在定区间上的值域? 提示:先求出x+在定区间上的范围,将x+看作一个角,根据正弦函数的图像写出值域.,【解析】(1)f(x)最小正周期 (2)当 所以 故-12sin 2,故函
4、数的值域为-1,2. 当x=- 时,函数取最小值-1; 当x= 时,函数取最大值2.,【延伸探究】若本例条件不变,试求函数在区间 上的值域. 【解析】当 故 故函数的值域为- ,2.,【方法技巧】函数y=Asin(x+)+b的值域(最值)的求解策略 (1)xR时:把“x+”视为一个整体,结合函数y=Asinx+b中sinx的有界性求其值域. (2)xa,b时:把“x+”视为一个整体,先依据xa,b,求出“x+”的范围,在此基础上类比函数y=Asinx+b值域的求法,结合函数单调性或函数图像求解.,【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(x+) 该函数所表示 的曲线上的一个最高点为(2, ),由
5、此最高点到相邻的最低点间曲线 与x轴交于点(6,0). (1)求f(x)函数解析式. (2)求函数f(x)的单调区间. (3)若x0,8,求f(x)的值域.,【解析】(1)由曲线y=Asin(x+)的一个最高点是(2, ),得A= , 又最高点(2, )到相邻的最低点间,曲线与x轴交于点(6,0),则 =6- 2=4,即T=16,所以 此时 代入得 所以这条曲线的解析式为,(2)因为 解得x16k-6,2+16k,kZ. 所以函数的递增区间为-6+16k,2+16k,kZ, 因为 解得x2+16k,10+16k,kZ, 所以函数的递减区间为:2+16k,10+16k,kZ.,(3)因为x0,8
6、,由(2)知函数f(x)在0,2上是增加的,在2,8上 是减少的, 所以当x=2时,f(x)有最大值为 ,当x=8时,f(x)有最小值为-1, 故f(x)的值域为-1, .,类型二 函数y=Asin(x+)性质的综合应用 【典例】已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,| )的图像在 y轴上的截距为1,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 (x0,2)和(x0+,-2). (1)求f(x)的解析式. (2)若存在mR,任意x 使f(x)m2-3m-2成立,求m的取值范围.,【解题探究】(1)怎样确定周期和A的值? 提示:由最大值点、最小值点可以确定周期和A的值. (2)不等式恒成
7、立的意义是什么? 提示:不等式恒成立即f(x)maxm2-3m-2成立.,【解析】(1)因为函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,0,| )的图像在y轴上的截距为1,所以函数图像过(0,1),所以sin= , 因为| ,所以= , 所以f(x)= (2)f(x)= 在x 时函数的最大值为2. 所以2m2-3m-2, 解得:m4或m-1.,【方法技巧】函数y=Asin(x+)综合应用的注意点 (1)对于平移问题,应特别注意要提取x的系数,即将x+变为 后再观察x的变化. (2)对于对称性、单调性问题应特别注意将x+看作整体,代入一般 表达式解出x的值.,(3)对于值域问题同样是将x+看
8、作整体,不同的是根据x的范围求 x+的范围,再依据图像求值域. (4)对于奇偶性问题,由来确定,=k(kZ)时是奇函数,=k+ (kZ)时是偶函数.,【变式训练】(2015冀州高一检测)函数y=3sin 的图像为C,下面结论中,错误的是 ( ) A.图像C关于直线x=- 对称 B.图像C关于点 对称 C.函数f(x)在区间 内是增加的 D.由y=3cos2x得图像向右平移 个单位长度可以得到图像C,【解析】选C.A,B经验证可知正确,C中当 不是正弦函数的单调区间,错误; D中y=3cos2x得图像向右平移 个单位长度可以得到y=3cos 因为 正确.,【补偿训练】已知函数f(x)=2sin
9、(0)的最小正周期为. (1)求函数f(x)的递增区间. (2)将函数f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到函 数y=g(x)的图像,求y=g(x)在区间0,10上零点的个数.,【解析】(1)由周期为,得=2,得f(x)=2sin , 由正弦函数的递增区间得 得 所以函数f(x)的递增区间为 ,kZ.,(2)将函数f(x)的图像向左平移 个单位,再向上平移1个单位得到 y=2sin2x+1的图像, 所以g(x)=2sin2x+1, 令g(x)=0,得x=k+ 或x=k+ (kZ), 所以函数在每个周期上恰有两个零点,0,10恰为10个周期,故g(x) 在0,10上有20个零点
10、.,类型三 三角函数的性质及应用 角度1:函数y=Asin(x+)的单调性 【典例】(2015淮北高一检测)函数y=sin 的递减区间 是 ( ),【解题探究】求函数的单调区间时需要对函数的解析式做怎样的变形? 提示:利用诱导公式将函数的解析式变为,【解析】选C.函数 令 解得 角度2:函数= +k,kZ的奇偶性与对称性,【典例】(2015哈尔滨高一检测)函数y=sin(2x+)(0)是R上的偶函数,则的值是 ( ),【解题探究】若函数为偶函数,则的一般表达式是什么? 提示:若函数为偶函数,则的一般表达式为= +k,kZ. 【解析】选C.若函数为偶函数,则= +k,kZ,因为0, 故= .,【
11、拓展延伸】若函数y=sin(2x+) 的图像关于x= 对称, 则=_. 【解析】由题意 答案:-,【方法技巧】 1.关于函数y=Asin(x+)的对称性与奇偶性 (1)将x+看作整体,代入到y=sinx的对称中心、对称轴的表达式 可以求出函数y=Asin(x+)的对称中心、对称轴或求值. (2)若函数y=Asin(x+)为奇函数,则=+k,kZ,若函数 y=Asin(x+)为偶函数,则= +k,kZ,函数y=Asin(x+)的 奇偶性实质是函数的对称中心、对称轴的特殊情况.,2.求解函数y=Asin(x+ ) 单调区间的四个步骤 (1)将化为正值. (2)根据A的符号确定应代入y=sin的单调
12、增区间,还是单调减区间. (3)将x+看作一个整体,代入到上述的单调区间中解出x的范围即为函数在R上的单调区间. (4)如果要求函数在给定区间上的单调区间,则给k赋值求单调区间.,【变式训练】(2015安徽高考)已知函数f(x)=Asin(x+)(A, 均为正的常数)的最小正周期为,当x= 时,函数f(x)取得最小 值,则下列结论正确的是 ( ),【解题指南】求出函数f(x)的解析式,利用正弦函数的图像和性质进行判断.,【解析】选A.因为函数f（x）= Asin(x+)(A,均为正的常数) 的最小正周期为, 所以T= =2,所以f(x)=Asin(2x+)， 当x= 时, 所以 当 时函数f(
13、x)取得最大值.,下面只需要判断2,-2,0与最近的最高点处对称轴的距离越大,函数值越小. 当k=0时, 当k=1时, 当k=-1时, 所以,【补偿训练】把函数y=cos 向左平移m(m0)个单位,所得的图 像关于y轴对称,则m的最小值为 ( ) 【解题指南】先表示出平移后的函数解析式,再求m值.,【解析】选B.函数平移后的解析式为 由题意 因为m0,故m的最小值为 .,规范解答 应用函数y=Asin(x+)的性质解题 【典例】(12分)(2015沈阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(x+) (A0,0,|0)周期为 方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取 值范围.,【审题指导】1.要求函数的解析式,可以通过图像观察周期、最值、点的坐标,从而分别求,A,. 2.要求实数m的取值范围,可以根据方程有两个解,即相应的函数有两个交点确定实数m的范围.,【规范解答】,【题后悟道】 1.准确赋值求解析式 已知函数的图像求函数的解析式时的关键是确定值,一般是先将利用已知点的坐标表示出来,再根据的范围求值.如本题中先利用最大值点将值表示出来.,2.善于利用数形结合思想解题 涉及不可解的方程根的个数问题时,一般要将方程变形为两个初等函数,利用两个初等函数图像的交点个数等于方程根的个数求参数的范围.如本题处问题的转化.,
