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1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点26 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积1、 选择题1.(2016全国卷高考文科T7)同(2016全国卷高考理科T6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()A.17B.18C.20D.28【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉剩余的部分,如图所示,依题意得R3=,解得R=2,所以该几何体的表面积为422+22=17.2.(2016全国卷文科T7)同(2016全国卷理科T
2、6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20B.24C.28D.32【解题指南】观察三视图,确定圆柱和圆锥的底面半径和高,再利用表面积是各个面的和进行计算.【解析】选C.几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为,圆柱高为h.由图得r=2,c=2r=4,h=4,由勾股定理得: =4,S表=r2+ch+c=4+16+8=28.3.(2016全国卷文科T4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.C.8D.4【解题指南】利用正方体的体对角线就是球的直径求解.【解析】选A.因为正方体的体积为8,所以正方体
3、的棱长为2,其体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4()2=12.4.(2016全国卷文科T10)与(2016全国卷3理科T9)相同如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90D.81【解题指南】根据三视图作出原几何体是关键.【解析】选B.根据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱,上下底面为边长为3的正方形,左右为底边长为3,侧棱为3的矩形,前后为底边为3,侧棱为3的平行四边形,且底边上的高为6,所以S=9+9+18+18+9+9=54+18.5.(2016全国卷文科T11)与(2016全国卷
4、3理科T10)相同在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4B.C.6D.【解题指南】注意当球和直三棱柱的三个侧面内切时,球已不在直三棱柱内.【解析】选B.当球的半径最大时,球的体积最大.在直三棱柱内,当球和三个侧面都相切时,因为ABBC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=2,直径为4侧棱.所以球的最大直径为3,半径为,此时体积V=.6.(2016山东高考文科T5)同(2016山东高考理科T5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A.+
5、 B.+C.+ D.1+【解题指南】充分利用三视图各测度的数值,还原几何体本身各测度的数值,进而求其体积.【解析】选C.由三视图可知,半球的半径为,四棱锥底面正方形边长为1,高为1,所以该组合体的体积=+111=+.7.(2016天津高考文科T3)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为()【解题指南】利用正视图和俯视图进行判断.【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.8.(2016北京高考理科T6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A.B.C.D.1【解题指南】三棱锥的体积为Sh.【解析】选A.通过三视图
6、可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=11=,所以体积V=Sh=.2、 填空题9.(2016浙江高考理科T11)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】几何体为两个相同长方体组合而成,长方体的长宽高分别为4,2,2,所以体积为2(224)=32(cm3),由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形,所以表面积为2(222+244)-222=72(cm2).答案:723210.(2016浙江高考理科T14)如图,在ABC中,AB=BC=2,ABC=120.若平面ABC外的点
7、P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.【解题指南】利用三棱锥的体积公式表示出体积,再利用不等式求最值.【解析】结合图形利用不等式的放缩进行求值,注意基本不等式的适用条件.在ABC中,AB=BC=2,ABC=120,所以AC=,设CD=x,则AD=2-x,所以PD=2-x,所以VP-BCD=SBCDhBCCDsin30PD=2x(2-x)=x(2-x)=,当且仅当x=2-x,即x=时取“=”,此时PD=,BD=1,PB=2,满足题意.答案: 11.(2016浙江高考文科T9)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是c
8、m3.【解题指南】先由三视图还原几何体再进行求解.【解析】由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体,S表=622+242+424-222=80(cm2),V=23+442=40(cm3).答案:804012.(2016四川高考理科T13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【解题指南】先根据正视图和已知条件判断几何体的形状,代入公式即可得出几何体的体积.【解析】由题可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得如下俯视图,且三棱锥高为h=1,则体积V=Sh=1=.答案:13.(2016四川高考文科T12)已知某三棱锥
9、的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是.【解题指南】根据俯视图求出底面积,根据侧视图求出高,从而得出几何体的体积.【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥,且底面积为S=21=,高为1,所以该几何体的体积V=Sh=1=.答案:14.(2016天津高考理科T11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为m3.【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解.【解析】底面为平行四边形,面积为21=2,高为3,所以V=213=2.答案:215.(2016北京高考文科T11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为.【解题指南】四棱柱的体积为底
10、面积乘以高.【解析】由俯视图可知底面面积为(1+2)1=,由侧(左)视图可知高为1,所以体积为1=.答案:3、 解答题16.(2016浙江高考理科T17)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF平面ACFD.(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【解析】(1)延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示,因为平面BCFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,所以BFAC,又因为EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BFCK,所以BF平面ACFD.(2
11、)过点F作FQAK,连接BQ.因为BF平面ACK,所以BFAK,则AK平面BQF,所以BQAK.所以,BQF是二面角-D-F的平面角.在RtACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.在RtQF中,FQ=,BF=,得cosBQF=.所以,二面角-D-F的平面角的余弦值为.17.(2016江苏高考T17)(本小题满分14分)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积是多少?(2)若正四棱锥的侧棱长为6
12、m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?【解题指南】根据正四棱锥和正四棱柱的体积公式以及导数求解.【解析】(1)由PO1=2mOO1=8m,则,故仓库的容积为312m3.(2)设PO1=xm,仓库的容积为V(x),连接A1O1,则OO1=4xm,A1O1=m,A1B1=m,=(288x-8x3)m3.V(x)= +=m3+(288x-8x3)m3=m3(0x6),所以V(x)=-26x2+312=-26(x2-12)(0x0,V(x)单调递增,当x(2,6)时.V(x)0,V(x)单调递减,因此,当x=2时,V(x)取到最大值,即PO1=2m时,仓库的容积最大.按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。党组织书记是第一责任人
