《高考数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列求和与数列的综合应用学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第五章 数列 第四节 数列求和与数列的综合应用学案 文（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题知识点一 数列求和的几种常用方法 1分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减2裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
2、构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的4倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的5并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解1判断正误(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn较为合理()(2)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错
3、位相减法求得()(4)如果数列an是周期为k的周期数列，那么SkmmSk(m，k为大于1的正整数)()答案：(1)(2)(3)(4)2数列an的通项公式是an，前n项和为9，则n_.解析：an.Sna1a2a3an(1)()()1.19，即10，n99.答案：993已知数列an的前n项和为Sn，且ann2n，则Sn_.解析：ann2n，Sn121222323n2n.2Sn122223(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1(1n)2n12.Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12知识点二 数列的综合应用 1等差数列和等比数列的综合等差数列中最基本的量是其首
4、项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的2数列和函数、不等式的综合(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d0的情况下关于n的一次或二次函数(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q1的情况下是公比q的指数函数模型(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题4在数列an中，已知a11，an1ansin，记Sn为数列an的前n项和，则S2 016()A1 006 B1 007C1 008 D1 009解析：由an1
5、ansin，得an1ansin，所以a2a1sin101，a3a2sin1(1)0，a4a3sin2000，a5a4sin011，a5a1，如此继续可得an4an(nN*)，即数列an是一个以4为周期的周期数列，又2 0164504，所以S2 016504(a1a2a3a4)504(1100)1 008，故选C.答案：C5(2017福州模拟)下面给出了一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第3行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等记第i行第j列数为aij(i，jN*)，则a43_.，解析：由题意，第一列公差d，所以a41(41)1.由第3行得公比q，所以a4312.答案：热点一分
6、组求和法求和 【例1】(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.()求an的通项公式；()设cnanbn，求数列cn的前n项和【解】()等比数列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.设等差数列an的公差为d.因为a1b11，a14b427.所以113d27，即d2.所以an2n1(n1,2,3，)()由()知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.从而数列cn的前n项和Sn13(2n1)133n1n2.【总结反思】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特
7、点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化，特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln2ln3)(1)nnln3，求其前n项和Sn.解：Sn2(133n1)111(1)n(ln2ln3)123(1)nnln3，所以当n为偶数时，Sn2ln33nln31；当n为奇数时，Sn2(ln2ln3)(n)ln33nln3ln21.综上所述，Sn热点二 错位相减法求和 【例2】(2016山东卷)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.()求数列bn的通项公式；()令cn.求数列cn的前n项和Tn.【解】()由题意知当n2时，an
8、SnSn16n5，当n1时，a1S111.所以an6n5.设数列bn的公差为d，由得可解得b14，d3.所以bn3n1.()由()知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，所以Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234(n1)2n23n2n2，所以Tn3n2n2.【总结反思】选择数列求和方法的依据是数列的通项公式，如本题第()问中通过化简数列cn的通项公式可知，其可以写成一个等差数列与等比数列的通项公式的乘积形式，故应采用错位相减法求和.已知递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中
9、项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的正整数n的最小值解：(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38，a2a420.解得或又an是递增数列，q2，a12，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Snn2n150，即2n1250，2n152.故使Snn2n150成立的正整数n的最小值为5.热点三 裂项相消法求和 【例3】设数列an的各项均为正数
10、，其前n项和为Sn，且2an1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，若b1b2bn1，求正整数n的最小值【解】(1)由2an1，两边平方，得4Sn(an1)2，则4Sn1(an11)2，两式相减，得4an1(an11)2(an1)2，整理得(an11)2(an1)20，即(an1an)(an1an2)0.因为an0，所以an1an20，即an1an2.又因为当n1时，2a11，所以(1)20，所以a11，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)因为bn，所以b1b2bn(1)()()(1)由(1)1，解得n4，所以满足条件的正整数n的最小值为5.【总结反思】(1)用裂项相消法求
11、和时，要对通项进行变换，如：()，()裂项后可以产生连续可以相互抵消的项(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN*，记数列an的前n项和为Sn，则S2 017_.解析：由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x，an.S2 017a1a2a3a2 017(1)()()()()1.答案：1热点四 数列与其他知识的综合应用 【例4】(2016四川卷)已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.()若2a2，a3，a22成等差数列，求数列an的通项公式；()设双曲线x2
12、1的离心率为en，且e2，证明：e1e2en.【解】()由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11, 两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立所以，数列an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1.由2a2，a3，a22成等差数列，可得2a33a22，得2q23q2，则(2q1)(q2)0.由已知，q0，故q2.所以an2n1(nN*)()证明：由()可知，anqn1.所以双曲线x21的离心率en.由e2得q.因为1q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1，故e1e2en.【总结反思】数列一类特殊的函数，它可以和函数、不等式、解析几何、向量等知识组成综合性问题，但限于高考对数列难度的要求，高考对这方面的考查一般不会难度太高本题考查了数列本身知识的综合应用以及与解析几何、放缩法证明不等式的综合应用.(2017泸州模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN*)，等差数列bn中b25，且公差d2.(1)求数列an，bn的通项公式(2
