《高中数学 小问题集中营 专题5_5 突破点 利用数形结合思想探究与圆有关的最值题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 小问题集中营 专题5_5 突破点 利用数形结合思想探究与圆有关的最值题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、全国各地接二连三地发生了多起特大安全事故，造成严重的人员伤亡，特别是北京密云、吉林商厦等特大安全事故，引起了党中央和国务院的高度关注问题5突破点 利用数形结合思想探究与圆有关的最值题一、问题的提出 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：二、问题的探源 这些与
2、圆有关的最值问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解2、 问题的佐证1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题 画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围.例1若直线与曲线恰有三个公共点，则实数的取值范围是 .思路分析：直线与曲线恰有三个公共点，实数的取值范围，可以转化为直线的图象与曲线的图象有三个交点时实数的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出的取值范围；本题曲线
3、的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成点评：本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.例2 在平面直角坐标系中，圆若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是_【答案】 (或)【点睛】已知圆的圆心在直线上，半径为，若圆存在以为中点的弦，且，说明，就是说圆上存在两点，使得.过点作圆的两条切线，切点分别为，圆
4、上要存在满足题意的点，只需，即，则只需，列出不等式解出的范围.3. 与距离有关的最值问题 在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：圆外一点到圆上距离最近为，最远为；过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心
5、到直线的距离，最近为；过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.例3 已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B点评：与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的
6、最值问题；形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题4. 与面积相关的最值问题 与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.例4 已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时， 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【方法点晴】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系以及求取值范围问题，属于难题.解决圆解析几何中的取值范围问题一般有两种方法：一是几何意义
7、，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆解析几何中取值范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题利用圆的几何性质求三角形面积最值的.5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题 本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.例5 【2015届黑龙江省牡丹江一中高三上期第二
8、次月数学】实数x、y满足，则的最大值为 思路分析： 表示曲线上点到坐标原点距离，故可用消元法化为关于y的函数，再求最值.点评：本题考查了消元法及函数的最值的求法，要掌握本类试题中一些式子的几何意义，如表示曲线上点与点（a,b）之间距离的平方；表示曲线上点与点（a,b）连线的斜率；注意将直线在坐标轴上的截距与z联系起来解题.综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解.3、 问题的解决1、设点P(x，y)在圆x2(y1)21上，求的最值【解析】 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离因为圆心(0,1)
9、与定点的距离是，圆的半径是1，所以，的最小值是1，最大值是1.（1）化为求斜率问题求的最小值【解析】法一：令t，则方程组一定有解消去y，整理得(1t2)x22(t23t)x(t26t8)0有解所以，4(t23t)24(1t2)(t26t8)0，即6t80，解得t.故的最小值是 .（2）化为求圆心到直线距离问题求直线xy20上的点到圆的距离的最值【解析】圆心为(0,1)，到直线xy20的距离为，因此直线上的点和圆上的点的最大距离为1，最小距离为1.（3）化为求圆心到直线距离问题若圆上有且只有四个点到直线3x4yC0的距离为，求C取值范围【解析】由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，则，解得
10、C.所以C的取值范围为2、设点P(x，y)在圆x2(y1)21上，求的最值【解析】的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离因为圆心(0,1)与定点的距离是，圆的半径是1，所以，的最小值是1，最大值是1.1化为求斜率问题求的最小值【解析】法一：令t，则方程组一定有解消去y，整理得(1t2)x22(t23t)x(t26t8)0有解所以，4(t23t)24(1t2)(t26t8)0，即6t80，解得t.故的最小值是.2化为求圆心到直线距离问题求直线xy20上的点到圆的距离的最值【解析】圆心为(0,1)，到直线xy20的距离为，因此直线上的点和圆上的点的最大距离为1，最小距离为1.3化为求圆心到直线
11、距离问题若圆上有且只有四个点到直线3x4yC0的距离为，求C取值范围【解析】由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于即可，则，解得C.所以C的取值范围为解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：(1)k表示圆上的点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用0求k的最值；也可用圆心到直线的距离dr，求k的最值(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为dr，最小值为dr.纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.安全生产工作怎么要求都不过份，怎么重视都不过份，安全生产无小事，安全生产责任重于泰山，抓好安全生产工作是极其重要的工作
