《赛讲义---“化齐次法”证条件不等式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赛讲义---“化齐次法”证条件不等式（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“化齐次法”证条件不等式 若不等式两边各项的次数相等,则我们称之为齐次不等式.由于课本 上的两个基本不等式,都是齐次不等式,而大部分条件不等式却不是齐次 不等式,所以若能够结合题设条件,将条件不等式化成齐次不等式来证, 就能起到很好的解题效果.这种结合题设条件,将条件不等式化成齐次不 等式来证的方法我们称为“化齐次法”.下面以几个竞赛题(报刊征解 题)为例予以说明. 例1： 若半径为1的圆内接ABC的面积是,三边长分别为,求证: (1);(2).(1985年全国高中数学联赛题) 分析与证明: 由易知(1)成立. (2)式左边是次式,右边是负一次式,两边相差次,而条件(即(1)式)是三 次式.可
2、在(2)式左边除以化为齐次不等式:. 因为=+.所以原不等式得证. 例2： 已知正实数的和等于1,证明: . (1999-2000年数学竞赛题) 分析与证明: 根据不等式的特点,以,代入原不等式并整理可得齐次不等 式:. 即 .因为 , 又 =+ .纵上可知原不等式成立. 例3 ：设都是正数,并且,求证: (根据前苏联第22届数学竞赛试题改 编) 分析与证明: 以代入原不等式可得齐次不等式: .因为 而 =+ .从而原不等式得证. 例4： 已知,且,求证: (数学通报1999年1月号问题1171). 分析与证明:为书写简便,首先令;则原不等式可化为: 结合条件知只需证齐次不等式: .因为 = =.所以原不等式得证. 例5： 设是正实数,且满足,证明: (第41届国际数学奥林匹克试题) 分析与证明: 令.易知.则 = 同理有其它两式,再令 .则原不等式等价于齐次不等式: . 因为 同理有; .故 .从而原不等式成立.
