《高教五版高数(经济类)二阶常系数线性微分方程随堂讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高教五版高数(经济类)二阶常系数线性微分方程随堂讲解（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018年12月14日星期五,1,第三节 二阶常系数线性微分方程,第八章,一、线性微分方程解的结构,四、小结与思考练习,二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解,三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解,2018年12月14日星期五,2,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态,例1 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,(1) 自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定
2、律),成正比, 方向相反.,建立位移满足的微分方程.,2018年12月14日星期五,3,据牛顿第二定律得,阻力,即,这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。,(2) 强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,2018年12月14日星期五,4,可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的，,我们把这种方程称为二阶线性微分方程。,其一般形式可,表示为,n 阶线性微分方程的一般形式为,时, 称为非齐次的方程,时, 称为齐次的方程.,2018年12月14日星期五,5,证毕,二、线性微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两
3、个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1,2018年12月14日星期五,6,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,说明:,2018年12月14日星期五,7,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在
4、不全为 0 的常数,定义,2018年12月14日星期五,8,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,(证明略),线性无关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,2018年12月14日星期五,9,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,定理 2,2018年12月14日星期五,10,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入
5、方程左端, 得,定理 3,2018年12月14日星期五,11,是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解 .,2018年12月14日星期五,12,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,定理 4,2018年12月14日星期五,13,例如，,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,2018年12月14日星期五,14,设函数,
6、都是二阶非齐次线,性方程,定理5,的解, 则,必为原方程对应齐次线性方程,的特解。,提示：设,三、非齐次线性方程与其对应齐次方程解的关系,2018年12月14日星期五,15,内容小结,1. 二阶线性微分方程的概念,2. 二阶线性微分方程的解的结构,3.非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系,2018年12月14日星期五,16,思考练习,则该方程的通解是 ( ).,1. 设线性无关函数,都是二阶非齐次线性方程,的解,是任意常数,提示:,都是对应齐次方程的解且线性无关 .,(反证法可证),2018年12月14日星期五,17,2. 常系数齐次线性微分方程,第八章,(Constant coefficie
7、nt homogeneous linear differential equation),一、常系数齐次线性微分方程定义,二、常系数齐次线性方程解法,三、小结与思考练习,2018年12月14日星期五,18,一、常系数齐次线性微分方程定义,二阶常系数齐次线性方程的标准形式,二阶常系数非齐次线性方程的标准形式,n阶常系数线性微分方程的标准形式,2018年12月14日星期五,19,二、二阶常系数齐次线性方程解法,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,2018年12月14日星期五,20,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1. 当,时, 有两个相
8、异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,( r 为待定常数 ),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,二阶常系数齐次线性微分方程:,2018年12月14日星期五,21,时, 特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,( u (x) 待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u = x , 则得,因此原方程的通解为,2. 当,2018年12月14日星期五,22,时, 特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,3. 当,2018年12月14日星期五,23,特征方程:,以上结论可推广到高阶常
9、系数线性微分方程 .,小结：,2018年12月14日星期五,24,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,解: 特征方程,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例1,特征根,2018年12月14日星期五,25,解: 所给微分方程的特征方程为,它有一对共轭虚根,故所求通解为,2018年12月14日星期五,26,这是二阶常系数齐次线性方程.,易求解.,2018年12月14日星期五,27,内容小结,特征根:,(1) 当,时, 通解为,(2) 当,时, 通解为,(3) 当,时, 通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .,课后练习,习题83 1-2,2018
10、年12月14日星期五,28,思考练习,1.求方程,的通解 .,答案:,通解为,通解为,通解为,2018年12月14日星期五,29,3. 常系数非齐次线性微分方程,第八章,(Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation),一、,三、小结与思考练习,二、,2018年12月14日星期五,30,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,2018年12月14日星期五,31,一、,
11、为实数 ,为 m 次多项式 .,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,2018年12月14日星期五,32,(2) 若 是特征方程的单根 ,为m 次多项式,故特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根 ,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,2018年12月14日星期五,33,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,例5,2018年12月14日星期五,34,先求对应齐次方程的通解，其特征方程是,2018年12月14日星期五,35,从而所求方程的通解为,2018年12月14日星期五,36,解: 参见教材.,解: 参见教材.,2018年12月14日星期五,37,利用欧拉公式,设,2018年12月14日星期五,38,注意,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.,2018年12月14日星期五,39,2018年12月14日星期五,40,2018年12月14日星期五,41,2018年12月14日星期五,42,2018年12月14日星期五,43,(待定系数法),内容小结,
