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1、廉政文化是社会主义文化建设的重要组成部分，是在我国五千多年文明历史发展过程中形成的博大精深的中华文化，是中华民族的传统美德2.3.2等比数列的前n项和1理解等比数列的前n项和公式的推导过程2掌握等比数列的前n项和公式，并能用它解决有关等比数列问题1等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、末项与公比选用公式(1)在求等比数列an的前n项和公式时，应分q1和q1两种情况，若题目中没有指明，切不可忘记对q1这一情形的讨论(2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量，即a1，an，q，n，Sn，通常已知其中三个量可求另外两个量，这一方法简称为“知三求二”【做一做11】在等比数列an中，
2、公比q2，S544，则a1的值为()A4B4C2 D2【做一做12】在等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和为()A81 B120C168 D1922等比数列前n项和的常用性质性质(1)：在等比数列an中，若Sn为其前n项和，则依次每k项的和构成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k，成等比数列，其公比为_性质(2)：在等比数列an中，若项数为2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则_.性质(3)：数列an是公比为q的等比数列，则SmnSn_.【做一做2】已知等比数列an，Sn是其前n项和，且S37，S663，则S9_.一、错位相减法的实质及应用
3、剖析：(1)用错位相减法求等比数列前n项和的实质是把等式两边同乘等比数列的公比q，得一新的等式，错位相减求出SnqSn，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出Sn.当q1时，Snna1，当q1时，Sn.这是分段函数的形式，分段的界限是q1.(2)对于形如xnyn的数列的和，其中xn为等差数列，yn为等比数列，也可以用错位相减法求和错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题(3)利用这种方法时，要注意对公比的分类讨论二、等比数列的前n项和公式的推导(首项为a1，公比q1)剖析：除了书上用到的错位相减法之外，还有以下方法可以求等比数列的前n项和(1)等比性质法q，q，即q，解得
4、Sn.(2)裂项相消法Sna1a2a3ana1a1qa1q2a1qn1()()()().(3)拆项法Sna1a2a3ana1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1q2a1qn2)a1q(a1a1qa1q2a1qn2a1qn1a1qn1)，Sna1q(Sna1qn1)a1q(Snan)解得Sn.三、教材中的“？”例2中，有别的解法吗？将这个数列的前8项倒过来排，试一试剖析：S827262521，S812222627281255.此题说明了在一个等比数列an中，若为有限项，如a1，a2，an，则an，an1，a2，a1也是等比数列，其公比为原数列公比的倒数题型一 等比数列的前n项和公式的应
5、用【例1】在等比数列an中，(1)已知a13，q2，求a6，S6；(2)已知a11，a464，求q和S4；(3)已知a3，S3，求a1，q.分析：在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，q，n，Sn，只要已知任意三个，就可以求出其他两个反思：在等比数列an中，首项a1与公比q是两个最基本的元素；有关等比数列的问题，均可化成关于a1，q的方程或方程组求解解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)利用等比数列的有关性质；(3)注意在使用等比数列前n项和公式时，要考虑q是否等于1.题型二 等比数列的前n项和的性质的应用【例2】在各项均为正数的等比数列an中，若S1010，S2030，
6、求S30.分析：可以利用解方程组解决，也可以利用等比数列的前n项和的性质来解决反思：由于等比数列中，无论是通项公式还是前n项和公式，均与q的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的题型三 某些特殊数列的求和【例3】(1)已知数列an的通项公式an2nn，求该数列的前n项和Sn；(2)已知数列an的通项公式ann2n，求该数列的前n项和Sn.分析：(1)所给数列虽然不是等差数列或等比数列，但在求该数列的前n项和时可以把an看成一个等比数列和一个等差数列的和的形式，分别求和，再相加(2)写出数列的前n项和，注意其与
7、等比数列形式类似，考虑用推导等比数列求和公式的方法来求其前n项和反思：(1)分组求和法适用于某些特殊数列的求和，这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式；(2)错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和题型四 等比数列前n项和的实际应用【例4】为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景观协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层依此类推，到第十层恰好将大理石用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？分析：设出共用大理石的块数，即可求出各层大理石的
8、使用块数，通过观察，此即为一等比数列，通过等比数列求和，求出总块数，再求出每层用的块数反思：对于实际问题，可以采用设出未知量的方法使之具体化通过对前几项的探求，寻找其为等比数列的本质，再通过等比数列求和公式来求解题型五 易错辨析【例5】已知数列an满足an试求其前n项和错解：Sna1a2a3an(a1a3a5an1)(a2a4a6an)222n1.错因分析：这里数列的通项an是关于n的分段函数，当n为奇数或为偶数时对应不同的法则，因此求和必须对项数n进行分类讨论1在等比数列an中，若a11，a4，则该数列的前10项和为()A2 B2C2 D22等比数列的前n项和Snk3n1，则k的值为()A全
9、体实数 B1C1 D33某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()Aa(1p)7Ba(1p)8C(1p)7(1p)D(1p)8(1p)4已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，若a22，a1a516，则S5_.5在等比数列an中，Sn65，n4，q，则a1_.6在等比数列an中，S34，S636，求an.答案：基础知识梳理1na1na1【做一做11】A由题意，知q1，故有S544，将q2代入解得a14.【做一做
10、12】B由a5a2q3，得q327，q3，从而a13.S4120.2qk(q1)qqnSm【做一做2】511典型例题领悟【例1】解：(1)a6a1q532596.S6189.(2)a4a1q3，64q3.q4，S451.(3)由题意，得，得3，2q2q10，q1或q.当q1时，a1；当q时，a16.【例2】解：解法一：设an的公比为q，显然q1.由已知条件可列出方程组两式作商，得1q103，q102.S30(1q10q20)10(124)70.解法二：由性质SmnSnqnSm，得S20S10q10S10，即301010q10，q102.S30S20q20S10304070.解法三：运用性质(q
11、1)由已知条件S1010，S2030，易得q1，即.q102.又，解得S3070.解法四：运用性质Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k，成等比数列S10，S20S10，S30S20成等比数列，而S1010，S2030，(S20S10)2S10(S30S20)，即(3010)210(S3030)S3070.【例3】解：(1)Sna1a2a3an(21)(222)(233)(2nn)(222232n)(123n)2n12.(2)Sn121222323n2n，2Sn122223(n1)2nn2n1，Sn222232nn2n1，Snn2n1(222232n)n2n1n2n1(2n12)(n1)
12、2n12.【例4】解：设共用大理石x块，则各层用大理石块数分别为第一层：1；第二层：1；第三层：1；第十层：1.所以从第一层到第十层所用大理石的块数构成首项为，公比为，项数为10的等比数列，故x，解得x2 046.答：共用去大理石2 046块，各层分别为1 024,512,256,128,64,32,16,8,4,2块【例5】正解：(1)当n为奇数时，Sn(a1a3a5an)(a2a4a6an1)222n2.(2)当n为偶数时，Sn(a1a3a5an1)(a2a4a6an)222n1.随堂练习巩固1B设其公比为q，a11，a4a1q3.q.S102.2B当n1时，a1S13k1；当n2时，anSnSn1k3nk3n12k3n1.令3k12k得k1.3D2005年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1p)7,2006年存入的a元到2012年所得的本息和为a(1p)6，依此类推，则2011年存入的a元到2012年的本息和为a(1p)，每年所得的本息和构成一个以a(1p)为首项，1p为公比的等比数列，则到2012年取回的总额为a(1p)a(1p)2a(1p)7(1p)8(1p)431527S465，解得a127.6解：，q1.S34，S636.两式相除，得1q39，q2.将q2代入S34，得a1.an2n1.廉政
