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1、2.3.4 圆与圆的位置关系,1.了解两圆的五种位置关系. 2.根据给定的两圆的方程,会用代数法和几何法判断圆与圆的位置关系. 3.能运用两圆位置关系解决有关实际问题.,1,2,圆与圆位置关系的判定 1.几何法 若两圆的半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:,1,2,【做一做1-1】 两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 答案：B 【做一做1-2】 已知两圆的半径分别为方程x2-7x+12=0的两个根,如果圆心距O1O2=8,则两圆的位置关系是 ( ) A.外离 B.外切 C.内切 D.相
2、交 解析：由方程x2-7x+12=0得两个根分别为3和4,故两圆半径之和为7,而两圆心之间的距离为8,故这两圆外离. 答案：A,1,2,【做一做1-3】 两圆x2+y2=r2与(x-2)2+(y+1)2=r2(r0)外切,则r的值是( ),答案：C,1,2,1,2,【做一做2】 利用代数法判断圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0的位置关系.,一些特殊圆的方程的设法 剖析：(1)圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中a,b为定值,r是参数. (2)半径为定值r的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中a,b为参数,r0是定值. (3)过
3、圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线Ax+By+C=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(R).,x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1,R),此圆系中不含圆C2. 特别地,当=-1时,得到(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,这时如果两圆相交,该方程就是两圆公共弦所在直线的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,由两圆的位置关系确定参数问题,【例1】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,m为何值时,(1)圆C1与圆C2外切;(2)圆C
4、1与圆C2内含? 分析：充分利用两圆位置关系的判断方法(几何法).,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 圆心距为|C1C2|,两圆的半径分别为r1,r2,则两圆外切|C1C2|=r1+r2;两圆内含|C1C2|r2-r1|,利用上述等价关系将问题转化为方程或不等式的问题来解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,变式训练1】 若两圆x2+y2=m(m0)与x2+y2+6x-8y-11=0只有一条公切线,则m的值为 .,题型一,题型二,题型三,题型四,两圆的公共弦问题,【例2】 已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公
5、共弦所在直线的方程; (3)求公共弦的长度. 分析：求两相交圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长时,一般不用求交点的方法,常用两方程相减消去二次项,得到公共弦所在直线的方程,再由勾股定理求弦长.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 只有当两圆相交时,将两圆方程相减得到的方程才是公共弦所在直线的方程,才能在此基础上求公共弦的长度.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,圆与圆的综合性问题,【例3】 求圆心在直线x-y-4=0上,且过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程. 分
6、析：方法一:先解出圆与圆的交点的坐标,再利用圆的性质与已知条件确定圆心坐标和半径; 方法二:解出两圆交点的坐标,利用待定系数法; 方法三:设出符合条件的圆系方程求解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 在解有关圆的问题时,要尽量结合圆的相关性质,这样可减少运算量.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 试求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1),且半径等于1的圆的方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析,易错点:审题不清致错 【例4】 已知集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(
7、x-3)2+(y-4)2=a2,若AB中有且仅有一个元素,求a的值. 错解:设集合A中所表示的圆的圆心为O1,集合B中所表示的圆的圆心为O2. 由题意AB中有且仅有一个元素可知两圆相切, 所以O1O2=5=a+2或5=a-2. 所以a=3或a=7. 错因分析：把a误认为是正数而导致丢解. 正解:由AB中有且仅有一个元素, 可知两圆相切,O1O2=5=|a|+2或5=|a|-2|, 解得a=3,或a=7.综上,知a的值为3或7.,1,2,3,4,5,1圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 解析：圆O1的圆心O1(1,
8、0),半径r1=1;圆O2的圆心O2(0,2),半径r2=2,又|O1O2|= ,且r2-r1|O1O2|r1+r2,所以相交. 答案：B,1,2,3,4,5,2圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.0条 解析：由x2+y2+4x-4y+7=0,得圆心和半径分别为O1(-2,2),r1=1. 由x2+y2-4x-10y+13=0,得圆心和半径分别为O2(2,5),r2=4. 因为d(O1,O2)=5,r1+r2=5,即r1+r2=d(O1,O2),所以两圆外切,由平面几何知识得两圆有3条公切线. 答
9、案：B,1,2,3,4,5,3若a2+b2=1,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系为 . 解析：因为圆(x-a)2+y2=1的圆心为(a,0),半径r1=1;圆x2+(y-b)2=1的圆心为(0,b),半径r2=1, 所以|r1-r2|dr1+r2=2,两圆相交. 答案：相交,1,2,3,4,5,4若圆O1:x2+y2=4与O2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a= . 解析：两圆的圆心和半径分别为O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1, 由两圆内切可得d(O1,O2)=r1-r2, 即|a|=1,所以a=1. 答案：1,1,2,3,4,5,5求半径为1,且与圆x2+y2=4相切的动圆圆心的轨迹方程. 解设动圆圆心为M,若两圆内切,则圆心距d=|2-1|=1,由圆的定义知M点轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,圆的方程为x2+y2=1;若两圆外切,则圆心距d=|2+1|=3,由圆的定义知M点轨迹是以O为圆心,3为半径的圆,方程为x2+y2=9.综上,动圆圆心的轨迹方程为x2+y2=1或x2+y2=9.,
