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1、第二章,函 数,章末整合提升,知 识 网 络,要 点 归 纳,函数是中学数学重要的基础概念之一，是高中代数的一条主线，贯穿于中学数学的始终，是进一步学习高等数学的基础函数思想是解决数学问题的重要思想，函数知识是高中数学的重点和难点，也是高考重点考查的内容 本章主要内容分四大节，分别是：函数、一次函数和二次函数、函数的应用()、函数与方程函数的概念建立在集合与对应的语言环境下，相对于变量x、y之间的元素依赖关系无疑是质的飞跃、映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射这并不是说映射观点下的函数与以往变量观点下的函数概念完全不同了，而只是由于建立了集合的知识体系，看问题的角度不同罢了所以高中函数知
2、识是初中内容的继续与加深，不仅研究函数的种类增加了，而且讨论函数性质的理念更深刻了，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,随着研究函数性质的方法的不断改善以及充分运用现代教育技术的手段不断提高，呈现在大家面前的将是一幅更为系统更加细致的五彩缤纷的函数画卷 从日常生活、生产和进一步学习的需要来看，有关函数的知识是非常重要的例如，在讨论社会问题、经济问题时，越来越多地运用数学的思想与方法，函数的内容在其中占有相当的地位又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机需要函数图象的有关知识函数思想与知识应用的独特性与广泛性，更增添了函数的无穷魅力,规 律 总 结,1判断函数单调性的方法 (1)直接法 对于我
3、们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接判断它们的单调性 (2)图象法 画出函数的图象，根据其图象的上升或下降趋势判断函数的单调性 (3)定义法 利用证明函数单调性的四个步骤(取值；求y；判断符号；下结论)进行判断,专 题 突 破,函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决运用数形结合
4、的思想方法解决问题时，一般要遵循等价性，双向性和简单性的原则,专题一 函数的图象及应用,D,解析 由图可知Q与t之间的关系的图象过点(0，2)，(4，4)，(8,0)，(24，12)，在t0时，C(t)0；t4时，C(t)2；t8时，C(t)4；t24时，C(t)16，则C(t)与t的函数关系的图象过点(0,0)，(4,2)，(8,4)，(24,16)选项D正确,分析 函数f(x)的零点个数即为方程f(x)0的解的个数令f(x)0，即x22|x|a1.令g(x)x22|x|，h(x)a1，则方程x22|x|a1的解的个数即为函数g(x)与h(x)的图象交点的个数，故将问题转化为函数g(x)与h
5、(x)图象交点的个数问题,当a11或a10，即a2或a1时，g(x)与h(x)的图象有2个公共点； 当11时，函数f(x)有2个零点； 当2a1时，函数f(x)有4个零点； 当a1时，函数f(x)有3个零点,单调性是函数的重要性质对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面，函数单调性的应用十分广泛 奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论,专题二 函数的性质及应用,分析 本题主要考查函数单调性的逆向应用解题的关
6、键是去掉“f”符号，转化为关于x的不等式问题,解析 根据奇、偶函数的性质，将f(1)和g(1)转化为f(1)，g(1)列方程组求解 f(x)是奇函数，f(1)f(1)又g(x)是偶函数，g(1)g(1) f(1)g(1)2，g(1)f(1)2. 又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4. 由，得g(1)3.,B,分析 (1)中|x|0；(2)的形式称为分段函数，分别求各段的值域,1.观察法 通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域,专题三 函数值域的求法,解析 (1)|x|0，2|x|2. 函数y2|x|的值域为(，2 (
7、2)当x1，即y1. 当x0时，y0. 当x0时，3x20，即y0. 原函数的值域为(，0(1，),2配方法 对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，求出函数的值域,分析 将二次函数配成ya(xh)2k的形式，画出图象，结合图象确定函数的值域,解析 (1)yx26x8(x3)21，如图所示，函数的值域为1，) (2)y(x3)21，如图所示 函数的值域为(0,3),(3)32xx20，即1x3， 设y132xx2(x1)24. 如图所示，当y10，即1x3时，函数有意义 函数y132xx2，x1,3的值域为0,4，则原函数的值域为0,2,分析 利用换元法将无理函
8、数转化为有理函数求函数的值域,3换元法 通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域,分析 本题中的函数没有零点，且含有参数，可利用函数的零点与方程根的关系来求解,D,专题四 函数的零点与方程根的关系及应用,解析 函数y|x|xa没有零点， 即方程|x|xa0无实数根， 也就是函数y|x|与yxa的图象没有交点 在同一坐标系中作出函数y|x|与yxa的图象，如图所示 由图象可知，要使函数y|x|与yxa的图象没有交点，应满足a0，故选D,1.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式(如单调性、最值等)或构造中间函数
9、结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值，解(证)不等式、解方程以及讨论参数取值范围等问题方程思想，是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型，加以解决,专题五 数学思想与方法,2,2数形结合思想 把数量关系的精确刻画与几何图形的直观形象有机地结合起来，从而充分暴露问题的条件与结论之间的内在联系，恰当地变更问题，使问题化难为易、化繁为简这就是“数形结合”的根本特征,4赋值思想 对于有些抽象函数，往往利用赋值法可得其性质，将复杂问题简单化 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图象的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题,
