《2016-2017学年人教b版必修4 向量在几何中的应用 向量在物理中的应用 教案3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016-2017学年人教b版必修4 向量在几何中的应用 向量在物理中的应用 教案3（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4向量的应用2.4.1向量在几何中的应用2.4.2向量在物理中的应用基础知识基本能力1掌握用向量的方法解决实际问题的步骤(重点)2熟记平面向量的相关概念及运算法则(重点、难点)1会用向量的方法计算或证明平面几何和解析几何的相关问题(重点)2会用向量的方法处理物理中有关力、速度等矢量的合成与分解问题(难点)1向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等，求线段的长，转化为求向量的长度；(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量共线；(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量的数量积为零； (4)平面几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；(5)对于与长方形、正方形、直角
2、三角形等平面几何图形有关的问题，通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，通过代数(坐标)运算解决平面几何问题【自主测试11】在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是()A平行四边形 B梯形C菱形 D矩形解析：由ABCD，且ABCD，故四边形ABCD为梯形，故选B答案：B【自主测试12】在ABC中，已知|4，且8，则这个三角形的形状是_解析：|cosBAC8，44cosBAC8，BAC60.又|，ABC为等边三角形答案：等边三角形2向量在解析几何中的应用(1)设直线l的倾斜角为，斜率为k，A(x1，y1)l，P(x，y)l，向量a(m，n)平行于l，则ktan ；反
3、之，若直线l的斜率k，则向量(m，n)一定与该直线平行(2)向量(1，k)与直线l：ykxb平行(3)与a(m，n)平行且过点P(x0，y0)的直线方程为n(xx0)m(yy0)0.(4)过点P(x0，y0)，且与向量a(m，n)垂直的直线方程为m(xx0)n(yy0)0.【自主测试21】已知直线l：mx2y60，向量(1m,1)与l平行，则实数m的值为()A1 B1 C2 D1或2答案：D【自主测试22】过点A(3，2)且垂直于向量n(5，3)的直线方程是_答案：5x3y2103向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量，它与自由向量有所不同大小和方向相同的两个力，如果作用点不
4、同，那么它们是不相等的但是，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力(2)速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度【自主测试3】已知两个力F1，F2的夹角为90，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60，则F1的大小为()A5 N B5 N C10 N D5N答案：B1用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法剖析：(1)要证两线段ABCD，可转化为证明|或22；(2)要证两线段ABCD，只要证明存在一实数0，使成立；(3)要证两线段ABCD，可转化为证明0；(4)要证A，B，C三点
5、共线，只要证明存在一实数0，使，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数，(其中1)，使.2对直线AxByC0的方向向量的理解剖析：(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则(x2x1，y2y1)及与其共线的向量均为直线的方向向量显然当x1x2时，向量与共线，因此向量(B，A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，A)为直线l的方向向量(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量3教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件，再次研究两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20平行和垂
6、直的条件，以及如何求出两条直线夹角的余弦结论：l1l2(或重合)A1B2A2B10.l1l2A1A2B1B20.cos .剖析：直线l1：A1xB1yC10的方向向量为n1(B1，A1)，直线l2：A2xB2yC20的方向向量为n2(B2，A2)若l1l2，则n1n2，从而有B1A2A1B2，即A1B2A2B10.若l1l2，则n1n20，从而有B1B2A1A20.所以直线l1l2A1B2A2B10，直线l1l2A1A2B1B20.由于n1n2A1A2B1B2，|n1|，|n2|，所以cosn1，n2.所以直线l1与l2夹角的余弦值为cos |cosn1，n2|.题型一 向量在平面几何中的应用
7、【例题1】已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB分析：证明：建立如图所示平面直角坐标系，设AB2，则有A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1)(1,2)，(2，1)(1)(2)2(1)0，即BECF.(2)设点P的坐标为(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2，同理，由得y2x4，由得点P坐标为.则|2|，即APAB反思由于向量集数形于一身，用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具，解题时一定注意用数形结合的思想互
8、动探究正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，求cosDOE.解：建立平面直角坐标系如图，则向量，111.又|，cosDOE.题型二 向量在解析几何中的应用【例题2】过点A(2,1)，求：(1)与向量a(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b(1,2)垂直的直线方程分析：在直线上任取一点P(x，y)，则(x2，y1)根据a和b解题即可解：设所求直线上任意一点P的坐标为(x，y)A(2,1)，(x2，y1)(1)由题意，知a，则(x2)13(y1)0，即x3y50.故所求直线方程为x3y50.(2)由题意，知b，则(x2)(1)(y1)20，即x2y40，故所求直线方程为x2y
9、40.反思已知直线l的方程AxByC0(A2B20)，则向量(A，B)与直线l垂直，即向量(A，B)为直线l的法向量；向量(B，A)与l平行，故过点P(x0，y0)与直线l平行的直线方程为A(xx0)B(yy0)0.【例题3】已知ABC的三个顶点A(0，4)，B(4,0)，C(6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程分析：(1)利用向量共线的坐标表示求解；(2)利用向量垂直的坐标表示求解解：(1)由已知，得点D(1,1)，E(3，1)，F(2，2)设M(x，y)是直线DE上任意一点，则.又(x1，y1)，(
10、2，2)，所以(2)(x1)(2)(y1)0，即xy20为直线DE的方程同理可求，直线EF，FD的方程分别为x5y80，xy0.(2)设点N(x，y)是CH所在直线上的任意一点，则.所以0.又(x6，y2)，(4,4)，所以4(x6)4(y2)0，即xy40为所求直线CH的方程反思(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算(2)要掌握向量的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量相等，则对应坐标相等题型三 向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行，河的宽度为d500 m，一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处，船的航行速度为|1|10 km/h，水
11、流速度为|2|4 km/h.(1)试求1与2的夹角(精确到1)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min)；(2)要使船到达对岸所用时间最少，1与2的夹角应为多少？分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度解：(1)依题意，要使船垂直到达对岸，就要使1与2的合速度的方向正好垂直于对岸，所以|9.2(km/h)，1与的夹角满足sin 0.4，24，故1与2的夹角114；船垂直到达对岸所用的时间t0.054 3(h)3.3 min.(2)设1与2的夹角为(如下图)1与2在竖直方向上的分速度的和为|1|sin ，而船到达对
12、岸时，在竖直方向上行驶的路程为d0.5 km，从而所用的时间t.显然，当90时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，为t0.05(h)反思注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向结合具体问题，在理解向量知识和应用两方面下功夫将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足.(1)求证：A，B，C三点共线；(2)已知A(1，cos x)，B(1sin x，cos x)，x，f(x)|的最小值为，求实数m的值错解：(1)，A，B，C三点共线(2)A(1，cos x)，B(1sin x，
13、cos x)，(sin x,0)，从而|sin x|.故f(x)(sin xm2)2m42.又sin x1,1，当sin x1时，f(x)有最小值，即(1m2)2m42，解得m.错因分析：错解中忽略了题目中x的取值范围，造成正弦值的范围扩大正解：(1)，A，B，C三点共线(2)A(1，cos x)，B(1sin x，cos x)，(sin x,0)，故|sin x，从而f(x)(sin xm2)2m42.又当x时，sin x0,1，当sin x1时，f(x)有最小值，即(1m2)2m42，化简得m2，解得m.1若向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量，则直线x2y30的一个法向量为()A(1,2) B(1，2)C(2,1) D(2，1)解析：可以确定已知直线l的斜率k，所以直线的方向向量a.由an0，可知应选A答案：A2已知A(2,1)，B(3,2)，C(1,4)，则ABC是()
