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1、第八讲 经济与金融中 的优化问题,凯里学院文化素质选修课 教案,欢迎各位参加 运筹与优化 的学习,运筹与优化,主讲:潘东云 邮箱： Q Q: 513551582,内容提要,1. 经济均衡问题及其应用 2. 投资组合问题 3. 市场营销问题,运筹与优化,1. 经济均衡问题及其应用,运筹与优化,单一生产商、单一消费者的情形 例8.1: 市场清算价格,市场上有一个生产商（甲）和一个消费者（乙）。对某种产品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力为:,市场的清算价格应该是多少?,运筹与优化,甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1 ，A， A， A （吨）,供需平衡： A1+A+ A+ A=
2、 x1+x2+x3+x4,供应限制： A1 ，A， A， A 2,决策变量,目标函数,约束条件,建立线性规划模型(LP),乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2，x3，x4（吨）,非负限制： A1,A, A, A, x1,x2,x3,x4 0,消费限制： x1，x2，x3，x4 2,9x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A-3A-4 A,运筹与优化,模型求解,用LINDO求解，最优解:A1=A2=x1=x2=2, A3=A4=x3=x4=0,思考:供需平衡约束的对偶价格含义,如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3倍。,清算价格:
3、 3万元,供需平衡约束目前的右端项为0，影子价格为-3。,结果解释,运筹与优化,两个生产商、两个消费者的情形 例6.2: 市场清算价格,市场上有两个生产商（甲和丙）和两个消费者（乙和丁）。他们在不同价格下的供应能力和需求能力为:,运筹与优化,甲销售到丁的运输成本是1.5（万元）/吨,丙销售到乙的运输成本是2（万元）/吨,甲、乙之间，丙、丁之间没有运输成本,市场的清算价格应该是多少？,甲和丙分别生产多少？,乙和丁分别购买多少？,目标,关键是考虑这些运输成本,认为甲乙是一个市场（地区或国家），而丙丁是另一个市场（地区或国家）。关税成本的存在，两个市场的清算价可能是不同 的 。,问题分析,运筹与优化
4、,甲以1、2、3、4万元的单价售出的产品数量分别是A1 ，A， A， A （吨）,决策变量,目标函数,乙以9、4.5、3、2.25万元的单价购买的产品数量分别是x1，x2，x3，x4（吨）,9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4 -2BX-1.5AY- A1-2A-3A-4 A-2B1-4B-6B-8B,丙以2、4、6、8万元的单价售出的产品数量分别是B 1 ，B ， B ， B （吨）,丁以15、8、5、3万元的单价购买的产品数量分别是y1，y2，y3，y4（吨）,虚拟经销商的总利润最大,建立线性规划模型(LP),运筹与优化,供需平衡：AX+AY= A1+A
5、+ A+ A BX+BY = B1+B+ B+ B AX+BX=x1+x2+x3+x4 AY+BY=y1+y2+y3+y4,约束条件,供应限制,消费限制,非负限制,决策变量之间关系,运筹与优化,结果解释,最优解为A1=A2=A3=x1=x2=2, B1=1，B2=3，y1=1，y2=3，y3=3，AX=BY=4，A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0. AY=2，也即甲将向丁销售2吨产品，丙不会向乙销售,如何才能确定清算价格呢？,针对甲的供需平衡条件，目前的右端项为0，影子价格为-3.5，意思就是说如果右端项增加一个很小的量，引起的经销商的损失就是这个小量的3.5倍。可见，此时甲的销售单
6、价就是3万元，这就是甲面对的清算价格！,生产商丙面对的清算价格为5。则乙面对的清算价格就是是3.5，丁面对的清算价格就是5，因为甲乙位于同一个市场，而丙丁也位于同一个市场。这两个市场的清算价之差正好等于从甲、乙到丙、丁的运输成本（1.5）。,运筹与优化,期望年收益率至少达到15%，应当如何投资？,基本的投资组合模型- 例6.5: 股票投资问题,运筹与优化,问题分析,收益不确定,收益的期望值,风险 收益的方差,一种股票收益的均值衡量这种股票的平均收益状况,一种股票收益的方差衡量这种股票收益的波动幅度,两种股票收益的协方差表示他们之间的相关程度,方差越大， 风险越大；方差越小，风险越小。,运筹与优
7、化,数学期望： ER1=0.0890833, ER2=0.213667, ER3=0.234583 协方差矩阵： COV =,假设股票A、B、C每年的收益率分别为R1，R2和R3,运筹与优化,模型建立,年收益率（的数学期望）不低于15%,资金 全部用于投资这三种股票,决策变量,x1投资股票A,x2投资股票B,x3投资股票C,约束条件,x1, x2 , x3 0，x1+x2 +x3 = 1,x1ER1+x2ER2+x3ER3 0.15,目标函数,年投资收益率的方差极小,二次规划模型(QP),A占53%，B占36%，C占11%,运筹与优化,现有一种无风险的投资方式(如购买国库券)。假设国库券的年收
8、益率为5%，如何考虑例6.5中的问题？,存在无风险资产时的投资组合模型- 例6.6:,问题分析,无风险的投资方式的收益固定,方差为0,特例,假设国库券的投资方式记为D,投资A占8%，B占42%，C占14%，D占34%,期望收益:15% 10%,投资A大约占4%，B占21%，C占7%，D（国库券）占67%,运筹与优化,结果分析,风险资产之间的投资比例与期望收益和风险偏好无关,风险资产本身相互之间的比例不变,变化的只是投资于风险资产与无风险资产之间的比例,分离定理,Tobin教授,1981, 诺贝尔经济学奖,运筹与优化,继续考虑例6.5（期望收益率仍定为15%）。假设握有的股票比例为：股票A占50
9、%，B占35%，C占15%。如按交易额的1% 收取交易费，,考虑交易成本的的投资组合模型- 例6.7:,问题:是否需要对手上的股票进行买卖（换手）？,模型建立,决策变量,x1投资股票A,x2投资股票B,x3投资股票C,假设购买股票A、B、C的比例为y1 、y2和 y3,假设卖出股票A、B、C的比例为z1 、z2和 z3,运筹与优化,投资A大约占52.647%，B占35%，C占12.299%，,约束条件,x1, x2 , x3 0，y1, y2 , y3 0 , z1, z2 , z3 0。,注:yi与zi （i=1，2，3）中最多只能有一个严格取正数,x1+x2 +x3 +0.01( y1+y
10、2 +y3 + z1+z2 +z3 )= 1,注:持有的总资金守恒,ci为当前握有的各支股票的份额,xi = ci + yi - zi（i=1，2，3）,三者之和略小于100% ,为什么?,运筹与优化,能否通过一定方式避免协方差的计算，对模型进行简化呢？,利用股票指数简化投资组合模型- 例6.8:,线性回归,利用股票指数,假设每只股票的收益与股票指数成线性关系,M表示股票指数,均值为m0=E(M)，方差为s02=D(M),股票i，其价值Ri = ui + biM+ ei ,ei是一个随机误差项,均值为E(ei)=0，方差为si2=D(ei),假设随机误差项ei是与其他股票j（ji）和股票指数M
11、都是独立的,E(eiej) = E(eiM) =0,运筹与优化,如何根据所给数据经过回归计算得到ui 和 bi?,记12年的数据为 M (k)，Ri (k)，（k=1，2，,12）,优化问题,结果,M的均值m0=1.191458，方差为s02=0.02873661,标准差为s0=0.1695188,A:u1 =0.5639761， b1 =0.4407264， s12=0.005748320， s1=0.07581767,B:u2 = -0.2635059， b2 = 1.239802， s22= 0.01564263， s2= 0.1250705,C :u3 = -0.5809590， b3
12、 = 1.523798， s32= 0.03025165， s3= 0.1739300,运筹与优化,运筹与优化,年收益率(数学期望)不低于15%,决策变量,x1投资股票A,x2投资股票B,x3投资股票C,约束条件,x1, x2 , x3 0，x1+x2 +x3 = 1,目标函数,年投资收益率的方差极小,优化模型,对应的收益:,运筹与优化,二次规划模型(QP),与前结果A占53%，B占36%，C占11%比较,略有差异,A占53%，B占38%，C占9%,结果,运筹与优化,其他目标下的投资组合模型- 例6.9:保守股票投资,市场上只有两只股票A、B可供某个投资者购买 ,市场只能出现两种可能的情况（1
13、和2）,现要使两种情况下最小的收益最大化（即不管未来发生哪种情况，都能至少获得这个收益），如何建立模型和求解？,运筹与优化,优化模型与求解,决策变量,约束条件,目标函数,X1年初投资股票A,X2年初投资股票B,x1, x2 0， x1+x2 = 1,最小收益最大的“保守”目标实际上就是希望： Max min(1.0x1+1.2x2 , 1.5x1+0.7x2) ,引入一个辅助变量y，这个模型就可以线性化。相应的LINDO模型为：,MAX y Subject to x1 + x2 = 1 x1 + 1.2 x2 - y 0 1.5 x1 + 0.7 x2 - y 0,求解得到 ：应该投资A、B股
14、票各50%，至少可以增值10%,运筹与优化,求解得到 ：应该投资A股票54.5455%， B 股票45.4545%，至少可以增值13.6364% .,现在，假设有一条重要信息：如果情形1发生，股票B的增值将达到30%而不是表中给出的20%。那么，一般人的想法应该是增加对股票B的持有份额。果真如此吗？这个投资人如果将上面模型中的1.2改为1.3计算,也就是说，应该减少对股票B的持有份额，增加对股票A的持有份额！这真是叫人大吃一惊！这相当于说：有人告诉你有某只股票涨幅要增加了，你赶紧说：那我马上把这只股票再卖点吧。之所以出现如此奇怪的现象，就是由于这个例子中的目标的特殊性引起的,运筹与优化,现有新
15、产品A和已有的同类产品B、C、D ，市场调查如下表,例6.10：新产品的市场预测问题,新产品A未来的市场份额大概是多少？,运筹与优化,问题分析,模型建立,离散动态随机过程,A未来的市场份额,产品编号记为 i（i=1，2，,N）,转移概率矩阵的元素记为Tij,稳定状态下每种产品的概率,优化模型(无目标函数),稳定状态下产品i的市场份额记为pi,pi非负,A的市场份额是47.5%,运筹与优化,效用函数- 例6.11: 小汽车属性的效用函数,考虑某牌号小汽车的两种属性：价格和安全气囊。价格分为12.9、9.9、7.9万元 ；安全气囊的配置为两个、一个、没有。顾客对该产品的不同配置的偏好程度（效用）如
16、下表所示 ：,价格和安全气囊的效用函数如何？,运筹与优化,模型建立,记价格选项分别为H(高)、M(中)、L(低)，对应的效用为pj（j=H，M，L）；安全气囊选项分别为0、1、2，对应的效用为qi（i=0，1，2）,目的:求出pj 和qi,假设价格和安全气囊的效用是线性可加的，即当价格选项为j、安全气囊选项为i时，效用 c（i，j）=pj+qi,如何比较不同的估计的好坏呢？,用最小二乘法确定pj和qi。也就是说，此时的目标为：,其中，c0(i，j )是表中的数据(安全气囊选项为i、价格选项为j时具体产品的效用),运筹与优化,因为做效用分析的主要目的是将来用于把不同配置的具体产品的优劣次序排出来，所以另一种方法是希望c(i，j)和c0(i，j)保持同样的顺序：即对任意的(i，j)和(k，l),当c0(i，j) +1
