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1、3.3 拉格朗日插值公式,线性插值仅仅利用两个结点上的信息，精度很低。 下面考察下述三点插值问题：给定含有三个结点的函数表： 作二次多项式y=p2(x)，使y=p2(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，即满足条件： p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2,问题的提出,已知y=f(x)在结点x0，x1，x2分别取函数值y0，y1，y2，求二次多项式y=p2(x)=a0+a1x+a2x2，满足条件： p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2,根据要满足的三个条件，确定三个未知数a0，a1，a2满足，因此可采用待定系数法。即：,基本插值多项式
2、,为了得到插值多项式y=p2(x)，先解决一个比较简单的插值问题：寻求二次式A0(x)，使满足条件 A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0 或者说，使适合下列函数表 这样的插值多项式不难直接构造出来。,为避免解线性方程组，下面仿线性插值，用基函数的方法求解方程组。,基本插值多项式,由条件A0(x1)=A0(x2)=0知，A0(x)含有xx1和xx2两个因子，令 A0(x)=(xx1)(xx2) 再用条件A0(x0)=1确定其中的系数，结果得到：,基本插值多项式,类似地作出满足条件 A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0 与 A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(
3、x2)=1 的插值多项式A1(x)与A2(x)： 得到的三个插值多项式Ak(x)（k=0,1,2）统称以x0，x1，x2为结点的基本插值多项式。,二次插值,用这些基本插值多项式作出的线性组合 y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x) 显然是个不超过2次的多项式，并且满足条件（7），因而即为所求的插值多项式y=p2(x)。基本插值多项式Ak(x)的表达式上面已经导出，代入上式得到：,二次插值的几何意义,这种二次插值的几何解释是，用通过三点(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的抛物线来近似曲线y=f(x)，因此二次插值亦称抛物插值(图3-2)。,举例,例3-3-1 利用10
4、0，121和144的平方根，求 。,解 利用抛物插值公式 其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又x=115，代入求得 再同所求平方根的实际值10.7238比较，得到了具有4位有效数字的结果。,一般形式的插值问题（n次插值）,进一步讨论一般形式的插值问题。,设函数y=f(x)在区间a,b上有节点x0, x1, , xn上的函数值，构造一个次数不超过n次的代数多项式 使 。即n次代数插值满足在n+1个节点上插值多项式和被插值函数f(x)相等，而且插值多项式P(x)的次数不超过n次。,一般形式的插值问题（n次插值）,仿照线性插值和二次插值所采用的办法，
5、仍从构造所谓基本插值多项式着手。 先对某个固定的下标k，作n次多项式Ak(x)，使满足条件： 或者说，使适合下列简单形式的函数表：,一般形式的插值问题,如果对每个下标k(k=0,1,2,n)能作出这样的基本插值多项式Ak(x)，那么它们的线性组合： 就是所求的插值多项式。事实上，由于Ak(x)都是n次的，pn(x)的次数不会超过n。另外，利用(8)式，得 即y=pn(x)确实满足所给条件。,一般形式的基本插值多项式,于是，问题归结为具体求出基本插值多项式Ak(x)。根据(8)式，xk以外的所有结点都是Ak(x)的零点，因此，令 这里符号的含义是累乘， 表示乘积遍取j从0到n除j=k以外的全部正
6、整数值。 式中的为待定系数。,拉格朗日插值公式,待定系数通过(8)式中尚未用过的一个条件Ak(xk)=1来确定它，结果得： 称为拉格朗日基函数，代入(9)式，即得所求插值多项式y=pn(x)的表达式： 上式就是所谓拉格朗日（Lagrange）插值公式。,拉格朗日插值的实现,在给定点x，用插值公式(10)计算y=pn(x)的值作为函数f(x)在x点处的近似值，这个过程称作插值。插值多项式的次数称作插值的阶。点x称作插值点。如果插值点x位于插值区间内，这种插值过程称内插，否则称作外推。 拉格朗日公式(10)在逻辑结构上表现为二重循环。内循环(j循环)由累乘求得系数： 然后再通过外循环(k循环)由累
7、加得到结果：,拉格朗日插值,对于拉格朗日插值公式，特别地, 当n =1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线. 当n =2时又叫抛物插值, 其几何意义为过三点的抛物线.,应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关。,拉格朗日插值多项式的唯一性,证：设所求的插值多项式为：,pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn,则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得关于系数a0 ,a1 , ,an的线性代数方程组,设节点xi (i=0,1, ,n)互异, 则满足插值条件pn(xi)=yi 的n次多项式pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn 存在且唯一。
8、,定理,拉格朗日插值多项式的唯一性,此方程组有n+1个方程, n+1个未知数, 其系数行列式是范德蒙行列式，即：,拉格朗日插值多项式的唯一性,拉格朗日插值多项式的唯一性,由于插值节点 xi 互不相同, 所有因子 xj-xi 0, 所以上述行列式不等于零,故由克莱姆法则知方程组的解存在且唯一. 即满足条件式 的n次多项式存在且唯一。 证毕。,拉格朗日插值多项式的唯一性,反证：若不唯一，则除了Pn(x) 外还有另一n 阶多项式Q(x) 满足Q(xi) = yi 。,考察 则S的阶数, n,而 S(x)有 个不同的根,矛盾,只有S(x) 0，所以Pn(x) Q(x) 唯一性说明不论用哪种方法构造的插值多项式，只要满足同样的插值条件，其结果都是互相恒等的。,
