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1、第三章 函数的应用 小结1,本章小结,一、本章基本知识扫描,1函数与方程的紧密联系，体现在函数y=f(x)的零点与相应方程f(x)=0的实数根的联系上.本章从二次函数与一元二次方程之间的联系展开讨论.通过对具体问题的分析我们还讨论了零点存在的条件：闭区间上连续不断的函数，若端点处的函数值异号，则在相应的开区间内函数必有零点.注意：这里的条件（端点处的函数值异号）仅是闭区间上连续不断的函数在所处的区间内有零点的充分条件，端点处的函数值不异号或者同号也可能存在零点.,2请回顾二分法求方程近似解的一般步骤.,给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： 1.确定区间a,b，验证f(a)f
2、(b)0，给定精确度； 2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c)；,4.判断： (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)0，则令b=c（此时零点x0(a,c)）； (3)若f(c)f(b)0，则令a=c（此时零点x0(c,b)）. 5.判断：区间长度是否达到精确度？ 即若|a-b|，则得到零点近似值； 否则重复25.,3不同函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律.例如，指数函数、对数函数以及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.请你说说这三种函数模型的增长差异.,在区间(0,+)上，尽管函数y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(
3、n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个档次上，随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.,对于函数，y=ax(0x0时，xnaxlogax(n0,0a1).,4函数模型应用一方面是利用已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.请你结合实例说明函数模型解决问题的基本过程. 函数模型是运用数学工具对实际问题的数量侧面所作的刻画，它的呈现形式可以是函数、方程，也
4、可以是计算程序乃至图表和图象等.,函数模型解决问题的基本过程即一般步骤是： （1）分析问题，作假设.为简化问题一般要对有关陈述作假设，使问题明确，分析问题包括变量设置、单位的选用等； （2）建立函数模型或者确定已知函数模型； （3）求解函数模型（包括画图、列表、证明、制作软件）； （4）讨论验证和修正模型.,5函数的应用与初中学习的列方程解应用题是有差别的. 虽然两者都是解决实际问题的数学方法，但列方程解应用题是解经过加工提炼出来的、比较明确的问题，给出的条件一般是充分的；而函数的应用一般直接来自实际问题，问题的条件往往不充分，有时要收集数据来支撑问题.函数的应用如建模问题，需要作一系列假设从
5、而使问题更加明确，结果需要讨论和验证，分析较为复杂，而列方程解应用题一般不需要假设条件，且验证也比较简单，只需求出答案.,用函数模型解决实际问题的过程中，往往涉及复杂的数据处理，需要大量使用信息技术.因此，在函数应用的学习中要注意充分发挥信息技术的作用.,课堂例题,例1. 某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-t，其中N0，是正的常数. （1）说明函数是增函数还是减函数； （2）把t表示为原子数N的函数； （3）当 时，求t的值.,解：由已知可得,因为是正常数，e1，所以e1， 即,又N0是正常数，所以 是关于t的减函数.,即,例2. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的
6、数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a,b,c为常数）.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.,例3. 某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为 （单位：万元），其中x是产品售出的数量（单位：百台）. （1）把利润表示为年产量的函数； （2）年产量是多少时，工厂所得利润最
7、大？ （3）年产量是多少时，工厂才不亏本？,巩固练习,1. 点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）,2. 列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地200km的C地.假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，试画出列车与C地的距离（单位：km）关于时间（单位：h）的函数图象.,3. 设计4个杯子的形状，使得在向杯中匀速注水时，杯中水面的高度h随时间t变化的图象分别与下列图象相符合.,4. 借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=lgx和 交点的横坐标（精确度0.1）.,5. 如图，有
8、一块半径为2的半圆钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数解析式，并求出它的定义域.,课后作业,课本第112页复习参考题A组第5、9题； 课本第113页复习参考题B组第1、2题,第三章 函数的应用 小结2,一、选择题（每小题只有一个正确选项）,1. 方程x-1=lgx必有一个根的区间是（ ） (A)(0.1,0.2) (B)(0.2,0.3) (C)(0.3,0.4) (D)(0.4,0.5),A,D,3. 如果一个立方体的体积在数值上等于V，表面面积在数值上等于S，且V=S+1，那么这个立方体的一个面的边长（精
9、确度0.01）约为（ ） (A)5.01 (B)5.08 (C)6.03 (D)6.05,C,4. 实数a，b，c是图象连续不断的函数y=f(x)定义域中的三个数，且满足abc，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，则函数y=f(x)在区间(a,c)上的零点个数为（ ） (A)2 (B)奇数 (C)偶数 (D)至少是2,D,5. 假设银行1年定期的年利率为2%,某人为观看2008年的奥运会，从2001年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到2007年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01万元）
10、（ ） (A)7.14万元 (B)7.58万元 (C)7.56万元 (D)7.50万元,B,6. 若方程ax-x-a=0有两个解，则a的取值范围是（ ）,A,二、填空题,7. 函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+)上增长较快的一个是_,y=x2,8. 若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数，且b-a=1)上有一根，则a+b=_,-3,9. 某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售单位每涨1元，销售量减少一个，要获得最大利润时，此商品的售价应改为每个_元.,55,10. 已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b) (b-a=0.1)上有唯一的零点
11、，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是_,10,三、解答题,11.截止到1999年年底，我国人口约13亿.如果经过30年后，我国人口不超过18亿，那么人口年平均增长率不应超过多少（精确到0.01）？,解：设人口年平均增长率为r，经过x年后，我国人口数字为y亿. 1999年年底，我国人口约13亿； 经过1年（即2000年），人口数为 13+13r=13(1+r)（亿）； 经过2年（即2001年），人口数为 13(1+r)+13(1+r)r=13(1+r)2（亿）；,经过3年（即2002年），人口数为 13(1+r)2+13(1+r)2r=
12、13(1+r)3（亿）； 所以，经过x年，人口数为 y=13(1+r)x（亿）.,当x=30时，若y=18，则有 18=13(1+r)30. 由计算器解得r0.01. 所以，当人口年平均增长率超过1%时，经过30年后，我国人口数字不超过18亿.,12. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：,（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系. Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=abt，Q=alogbt （2）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.,解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用Q=at+b, Q=abt,Q=alogbt中的任意一个进行描述时都应有a0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合.所以，只能选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述.,以表格所提供的三组数据分别代如Q=at2+bt+c，得到,解上述方程组得,所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
