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1、三 简单曲线的极坐标方程,1.极坐标方程的定义 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(,)=0,并且坐标适合方程f(,)=0的点都在曲线C上,那么方程f(,)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程 (1)圆心在C(a,0)(a0),半径为a的圆的极坐标方程为=2acos (如图); (2)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为=r(如图); (3)圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为=2asin (0)(如图).,做一做1 在极坐标系中,以(3,0)为圆心,半径等于3的圆的极坐标方程为 . 答案：=6cos ,3.直线的极坐标方程 (1)若直
2、线l经过极点,从极轴到直线l的角为(0),则直线l的极坐标方程为=(R)或=+(R); (2)当直线l经过点M(a,0)且垂直于极轴时,直线l的极坐标方程为cos =a; (3)当直线l经过点M 且平行于极轴时,直线l的极坐标方程为sin =b; (4)若直线经过点M(0,0),且从极轴到此直线的角为,则直线l的极坐标方程为sin(-)=0sin(-0).,名师点拨图形的对称性 1.若()=(-),则相应图形关于极轴对称. 2.若()=(-),则相应图形关于直线= 对称. 3.若()=(+),则相应图形关于极点对称.,做一做2 过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 .,4.规定 若0,我们
3、规定点M(,)与点P(-,)关于极点对称.,5.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,做一做3 直角坐标方程x2+(y-2)2=4化为极坐标方程是 . 解析：x2+(y-2)2=4可以化为x2+y2=4y,把 代入,得(cos )2+(sin )2=4sin , 化简整理得2=4sin . 因为曲线经过极点,所以极坐标方程可简化为=4sin . 答案：=4sin ,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)在极坐标系中,曲线的极坐标方程是唯一的. ( ) (2)x轴所在的直线在极坐标系中的方程为=0. ( ) (3)极坐标方程=3表示的曲线是圆.( )
4、(4)圆x2+y2=1化为极坐标方程一定是=1. ( ) (5)极坐标方程cos = (0)表示的曲线是两条射线.( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,求圆的极坐标方程 【例1】 在极坐标系中,求半径为r,圆心为C 的圆的极坐标方程. 分析：根据题意画出草图,设出点M(,),建立,的方程并化简,最后进行检验. 解：由题意知,圆经过极点O,设OA为其一条直径,M(,)为圆上除点O,A以外的任意一点,如图,则|OA|=2r,连接OM,AM,则OMMA. 在RtOAM中,|OM|=|OA|cosAOM,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求圆的极坐标方程的方法步骤 1.建立适当的极坐标系,
5、设P(,)是圆上任意一点. 2.列出圆上任意一点的极径与极角之间的关系式. 3.将列出的关系式整理、化简. 4.证明所得方程就是圆的极坐标方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 在如图所示的极坐标系中,以M 为圆心,半径r=1的圆M的极坐标方程是 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究二求直线的极坐标方程 【例2】 求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 的直线的极坐标方程. 分析：本题可用两种解法: (1)先根据题意画出草图,并设点M(,)是直线上除点A外的任意一点,从而由等量关系建立关于,的方程并化简,最后检验是不是所求即可; (2)先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方
6、程,然后由公式 化为极坐标方程即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解法一如图,设M(,)(0)为直线上除点A以外的任意一点,连接OM.,化简,得(cos -sin )=1. 经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程. 所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos -sin )=1.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解法二以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系xOy,直线的斜率k=tan =1, 直线方程为y=x-1.将y=sin ,x=cos 代入上式,得 sin =cos -1,所以(cos -sin )=1.,反思感悟解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足
7、的等式,从而建立了以,为未知数的方程;解法二先求出直线的直角坐标方程,再利用直角坐标与极坐标的互化公式间接求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,极坐标方程与直角坐标方程的互化 【例3】 (1)直角坐标方程y2=4x化为极坐标方程为 ; (2)直角坐标方程y2+x2-2x-1=0化为极坐标方程为 ; (3)极坐标方程= (0)化为直角坐标方程为 ; (4)极坐标方程2cos 2=4化为直角坐标方程为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析：根据互化公式求解. (1)将x=cos ,y=sin 代入y2=4x, 得(sin )2=4cos .化简,得2si
8、n2=4cos . 因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为sin2=4cos . (2)将x=cos ,y=sin 代入y2+x2-2x-1=0,得(sin )2+(cos )2-2cos -1=0, 化简,得2-2cos -1=0.,(4)2cos 2=4, 2cos2-2sin2=4,即x2-y2=4. 答案：(1)sin2=4cos (2)2-2cos -1=0 (3)y= x(x0) (4)x2-y2=4,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.将2=x2+y2,cos =x,sin =y,tan = (x0)代入曲线的极坐标方程,整理即得曲线的直角坐标方程. 2.解决此类问题
9、常常通过方程变形,构造出形如cos ,sin ,2的式子,进行整体代换.方程的两边同乘(或同除以)或方程两边平方是常用的变形方法. 3.化曲线的直角坐标方程f(x,y)=0为极坐标方程f(,)=0,只要将x=cos ,y=sin 代入到方程f(x,y)=0中即可.化为极坐标方程时,如果不加特殊说明,就认为0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 (1)极坐标方程=4asin 化为直角坐标方程为 ; (2)极坐标方程=9(cos +sin )化为直角坐标方程为 . (3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程是 ; (4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程是 .
10、解析：(1)两边同乘,得2=4asin . 2=x2+y2,sin =y, 直角坐标方程为x2+y2=4ay.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)把方程变形为2=9(cos +sin ), 2=x2+y2,cos =x,sin =y, 直角坐标方程为x2+y2=9(x+y), 即x2+y2-9x-9y=0. (3)把x=cos ,y=sin 代入x+y-2=0, 得cos +sin -2=0. 即(cos +sin )=2. (4)把x=cos ,y=sin 代入2x2+2y2-3x+7=0, 得22cos2+22sin2-3cos +7=0. 化简得22-3cos +7=0.,探究一,
11、探究二,探究三,思维辨析,极坐标表述不准确致误 典例已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为cos =3,=4cos (0),则曲线C1与C2交点的极坐标为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在极坐标系中,有序实数对的集合(,)|,R与平面上的点集不是一一对应的.给出一个有序实数对(,),在平面直角坐标系中可以唯一确定一个点,但对于极坐标系中的一点,它的极坐标不是唯一的,若点M不是极点,(,)是它的一个极坐标,则点M有无穷多个极坐标(,+2k)(kZ)与(-,+(2k+1)(kZ).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 极坐标方程= (R)表示的曲线是( ) A.直线 B.射线
12、 C.圆 D.半圆,答案：A,1 2 3 4 5,1.在极坐标系中,过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) A.sin =-2 B.cos =-2 C.sin =2 D.cos =2,解析：过点 与极轴平行的直线为y=-2, 即sin =-2. 答案：A,1 2 3 4 5,2.极坐标方程为=2cos 的圆的半径为( ) A.1 B.2 C. D.3 解析：由=2cos ,得2=2cos ,化为直角坐标方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,其对应的半径为1. 答案：A,1 2 3 4 5,3.曲线的极坐标方程=4cos 化成直角坐标方程为 . 解析：由已知得2=4cos ,即
13、x2+y2=4x,整理得(x-2)2+y2=4. 答案：(x-2)2+y2=4,1 2 3 4 5,4.在极坐标系中,点 到直线cos =2的距离是 . 解析：点 的直角坐标为(0,1),直线cos =2的直角坐标方程为x=2,故点(0,1)到直线x=2的距离d=2. 答案：2,1 2 3 4 5,5.求以C(4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程. 解：设圆C交极轴于另一点A,P(,)为圆C上任意一点(不与点O,A重合),则|OA|=8.连接OP,PA. 在RtAOP中,|OP|=|OA|cos , 即=8cos , 经验证点O、点A也满足该等式. 所以圆C的极坐标方程为=8cos .,
