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1、习题课 正弦定理、余弦定理的综合应用,一、常用术语 1.仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图(1). 2.方向角: 相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45等.,3.方位角: 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为(如图(2). 4.坡度: 坡面与水平面所成的二面角的度数的正切值.,二、正弦、余弦定理和面积公式 1.正弦定理,2.余弦定理:,答案:B,解析:由B=2A,得sin B=sin 2A,答案:B,【做一做3】(2016天津高考)在ABC中,若 ,BC=3, C=120,则AC=( ) A.1 B.
2、2 C.3 D.4 解析:由余弦定理得13=9+AC2+3ACAC=1. 故选A. 答案:A,做一做4 如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象,然后向右转105,行进10 m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135回到出发点,那么x= .,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例1】 在ABC中,a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边,若(a2+b2)sin (A-B)=(a2-b2)sin (A+B),则ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:由已知(a2+b2)sin(
3、A-B)=(a2-b2)sin(A+B). 得a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B), 所以2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理得sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A. 即sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B. 因为0A,0B,所以sin 2A=sin 2B, 所以2A=2B或2A=-2B.,所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案:D,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟1.确定三角形的形状主要途径有两个:一是化边为角,二是化角为边; 2.实现方法可以通过
4、正弦定理、余弦定理实现边角转换,也可以通过三角变换找出角之间的关系,还可以利用代数式的化简或变形找出边之间的关系.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练1 已知在ABC中, (a,b,c分别为角A,B,C的对边),则ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 答案:B,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例2】 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练2,(1)求sin CED的值; (2)求BE的长
5、.,探究一,探究二,探究三,规范解答,解:设CED=. (1)在CDE中,由余弦定理, 得EC2=CD2+DE2-2CDDEcos EDC. 于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0, 解得CD=2(CD=-3舍去).,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,【例3】从A处下山到C处有两种途径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行.速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动
6、的速度为130 m/min.山路AC长为1 260 m,经测量, (1)求索道AB的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?,探究一,探究二,探究三,规范解答,分析:(1)先利用三角变换公式,求出sin B,再利用正弦定理求出AB的长; (2)先利用余弦定理,列出关于时间t的关系式,再利用函数性质求其最值.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思感悟(1)三角形应用题主要是解决三类问题:测高度、测距离和测角度. (2)在解三角形时,要根据具体的已知条件合理选择解法,同时,不可将正弦定理与余弦定理割裂开来,有时需综合运用. (3)在解决与三角
7、形有关的实际问题时,首先要明确题意,正确画出平面图形或空间图形,然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决.要明确先用哪个公式或定理,先求哪些量,确定解三角形的方法.在演算过程中,要算法简练、算式工整、计算正确,还要注意近似计算的要求. (4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角,如仰角、俯角、方位角,以防出错.,探究一,探究二,探究三,规范解答,变式训练3 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,经过t小时,小艇与轮船相遇.假设小艇的最高航行速
8、度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.,探究一,探究二,探究三,规范解答,探究一,探究二,探究三,规范解答,解三角形知识在实际问题中的应用 【典例】某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为ABC,ABD,经测量AD=BD=14,BC=10,AC=16,C=D. (1)求边AB的长度. (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低,请说明理由. 分析:(1)在ABC和ABD中,根据余弦定理列出方
9、程组求解;(2)利用三角形面积公式比较大小.,探究一,探究二,探究三,规范解答,规范解答 (1)在ABC中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C =162+102-21610cos C. 在ABD中,由余弦定理及C=D, 整理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcos D =142+142-2142cos C, 得142+142-2142cos C=162+102-21610cos C,又C为三角形的内角,所以C=60, 又C=D,AD=BD,所以ABD是等边三角形, 即边AB的长度为14.,探究一,探究二,探究三,规范解答,(2)小李的设计符合要求.理由如下: 因为AD
10、BDACBC,所以SABDSABC, 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择ABC建造环境标志费用较低. 即小李的设计使建造费用较低.,探究一,探究二,探究三,规范解答,反思提升1.本题是典型的解三角形知识在实际中的应用问题,同时也是一道小型的建模问题,解题的关键是抽象出模型. 2.解决本题要关注两个点:一是充分利用C=D这一条件,二是抽象出的三角模型还要回归到实际问题中,以便做出合理的选择.,1,2,3,4,5,答案:D,1,2,3,4,5,答案:B,1,2,3,4,5,3.一艘海轮从A处出发,以每小时40 n mile的速度沿东偏南50方向直线航行,30 min后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南20,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,则B,C两点间的距离是( ),答案:A,1,2,3,4,5,4.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,则A= ,ABC的形状为 . 解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 又a2-c2=ac-bc,所以b2+c2-a2=bc. 在ABC中,整理得(b-c)(b3+c3+cb2)=0, 所以b=c,所以ABC为正三角形. 答案:60 正三角形,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,
