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1、2.2.2 间接证明,第2章 2.2 直接证明与间接证明,学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法. 2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”,思考,王戎的论述运用了什么论证方法？,答案 实质运用反证法的思想.,答案,知识
2、点 间接证明,梳理,(1)间接证明 定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明. 常用方法：反证法. (2)反证法 基本过程：反证法证明时，要从 开始，经过 ，导致 ，从而达到 (即肯定原命题).,否定结论,正确推理,逻辑矛盾,新的否定,证题步骤：反设假设 不成立，即假定原结论的反面为真； 归谬从 和 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； 存真由 ，断定 不真，从而肯定原结论成立.,命题的结论,反设,已知条件,矛盾结果,反设,题型探究,例1 设an是公比为q的等比数列，q1，证明：数列an1不是等比数列.,证明,类型一 用反证法证明否定性命
3、题,证明 假设an1是等比数列，则对任意的kN*， (ak11)2(ak1)(ak21)，,a10，2qkqk1qk1. q0，q22q10， q1，这与已知矛盾. 假设不成立，故an1不是等比数列.,(1)用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法. (2)用反证法证明数学命题的步骤,反思与感悟,证明,a，b，c成等比数列， b2ac， ,ac，从而abc. 这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾， 假设不成立.,类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题,证明,例2 a，b，
4、c(0,2)，求证：(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明 假设(2a)b，(2b)c，(2c)a都大于1. 因为a，b，c(0,2)， 所以2a0,2b0,2c0.,即33，矛盾. 所以(2a)b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.,证明,引申探究 已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 .,证明 假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 .,a，b，c都是小于1的正数， 1a,1b,1c都是正数.,用反证法证题时，如果要证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一
5、驳倒，才能推断结论成立.,反思与感悟,证明,跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.,证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点， 由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb， 得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0， 且3(2a)24bc0. 同向不等式求和，得 4b24c24a24ac4ab4bc0， 所以2a22b22c22ab2bc2ac0， 所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc. 这与题设a，b，c互不相等矛
6、盾， 因此假设不成立，从而命题得证.,类型三 用反证法证明唯一性命题,证明,例3 求证：方程2x3有且只有一个根.,证明 2x3，xlog23. 这说明方程2x3有根. 下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的. 假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)， 则 3, 3，两式相除得 1， b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾. 假设不成立，从而原命题得证.,用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可
7、用反证法证其唯一性.,反思与感悟,跟踪训练3 若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,证明,证明 假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根， 设、为其中的两个实根.因为 ，不妨设， 又因为函数f(x)在a，b上是增函数， 所以f()f(). 这与假设f()0f()矛盾， 所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.,当堂训练,1.“ab”的反面应是_.,答案,2,3,4,5,1,ab或ab,2,3,4,5,1,答案,2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设_.,至少有两个钝角,2,3,4,5,1,答案,解析,都大于2
8、；都不小于2；至少有一个不小于2；至少有一个不大于2.,解析 假设三个数都小于2，,2,3,4,5,1,答案,4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_.,a，b，c中至少有一个偶数,解析,解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”.,2,3,4,5,1,证明,方程2x3至少有一个实根. 设x1，x2是方程2x3的两个不同实根，,5.证明：方程2x3有且仅有一个实根.,由得，2(x1x2)0， x1x2， 这与x1x2矛盾. 方程2x3有且仅有一个实根成立.,规律与方法,1.反证法证明的3个步骤 (1) 反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； (2) 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； (3) 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. 2.反证法与逆否命题区别 反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.,本课结束,
