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1、专题七 动点问题(以静制动),动点问题是指动态几何问题,它以几何知识和图形 为背景,研究几何图形在运动变化中存在的数量关系或规 律,有较强的综合性解决这类问题时要用运动和变化的 眼光去观察和研究问题,把握运动、变化的全过程,并特 别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动 中取静,静中求动,淄博市近几年的中考题中,2017年的第23,24题,2016年的第24题,2015年的第23题,2014年的第24题都考查了动点问题显然,动点问题作为压轴题出现,考查学生的综合能力,不容轻视,一、动点与最值问题 最值问题往往涉及线段的长度、面积等问题,解答此类问题的关键是确定相应的关系式,然后利用函
2、数的性质进行解答注意函数中自变量的取值范围,例1(2016大连)如图,抛物线yx23x 与x轴相交于 A,B两点,与y轴相交于点C,点D是直线BC下方抛物线上一 点,过点D作y轴的平行线,与直线BC相交于点E. (1)求直线BC的表达式; (2)当线段DE的长度最大时, 求点D的坐标,【分析】,【自主解答】,【归纳总结】 求最值的问题往往转化为函数,借助函数的增减性解决;或者借助三角形三边的关系;或者根据垂线段最短,1(2017泰安)如图,在ABC中, C90,AB10 cm,BC8 cm, 点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度 运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(
3、点Q运 动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ的面积最小值 为( ) A19 cm2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm2,C,2(2017潍坊)如图1,抛物线yax2bxc经过平行四 边形ABCD的顶点A(0,3),B(1,0),D(2,3),抛物线与 x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割 为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.点P为直线l上 方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.,(1)求抛物线的表达式; (2)当t为何值时,PFE的面积最大?并求最大值的立方根; (3)是否存在点P使PAE为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,解
4、:(1)将点A(0,3),B(1,0),D(2,3)代入yax2bxc,得,二、动点与存在性问题 存在性问题往往涉及线与线的位置关系或数量关系、 图形的全等或相似、特殊四边形的判定等多个方面,解 答此类问题一般是通过三角形的全等或相似的知识进行 解答,关键是找出相关的角或线段之间的关系,例2(2016宁夏)在矩形ABCD中,AB3,AD4,动点Q从 点A出发,以每秒1个单位的速度,沿AB向点B移动;同时点 P从点B出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC向点C移动, 连接QP,QD,PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0x3), 解答下列问题:,(1)设QPD的面积为S,用含x的函数关系式表示S;
5、当x为何值时,S有最小值?并求出最小值; (2)是否存在x的值,使得QPDP?试说明理由,【分析】 (1)可用x表示出AQ,BQ,BP,CP,从而可表示出 SADQ,SBPQ,SPCD的面积,则可表示出S,再利用二次函 数的增减性可求得是否有最大值,并能求得其最小值; (2)用x表示出BQ,BP,PC,当QPDP时,可证明BPQ CDP,利用相似三角形的性质可得到关于x的方程,可求 得x的值,【自主解答】,【归纳总结】 存在性问题我们往往假设存在,借助这个条件执果索因,然后由因推果,3(2017青岛)已知:RtEFP和矩形ABCD如图摆放(点 P与点B重合),点F,B(P),C在同一直线上,A
6、BEF6 cm, BCFP8 cm,EFP90.如图,EFP从图的位置 出发,沿BC方向匀速运动,速度为1 cm/s,EP与AB交于点G; 同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1 cm/s. 过点Q作QMBD,垂足为H,交AD于点M,连接AF,PQ.当点Q 停止运动时,EFP也停止运动,设运动时间为t(s)(0t6), 解答下列问题:,(1)当t为何值时,PQBD; (2)设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关 系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM S矩形ABCD98?若存在,求出t的值;若不存在,请说明 理由;,(4)在运动过
7、程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由,解:,三、动点的其他类问题 与动点有关的问题还涉及确定动点的运动时间、函数关系式、字母的取值范围等,解答这类问题时,一定要全面分析动点的运动轨迹,利用几何知识进行解答,例3 (2016龙东)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 的顶点O是坐标原点,点A在第一象限,点C在第四象限,点B 在x轴的正半轴上OAB90且OAAB,OB,OC的长分别 是一元二次方程x211x300的两个根(OBOC),(1)求点A和点B的坐标; (2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O,B重合),过点P的直线l
8、与y轴平行,直线l交边OA或边AB于点Q,交边OC或边BC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.已知t4时,直线l恰好过点C.当0t3时,求m关于t的函数关系式; (3)当m3.5时,请直接写出点P的坐标,【分析】 (1)解一元二次方程可得B点坐标,利用等腰直角三角形的性质可得A点坐标;(2)先利用已知条件求出点C的坐标,再分别求出直线OA,OC的方程,进而得到点Q和点R的坐标,从而得到m关于t的函数关系式;(3)仿照(2)的方法,求出3t4和4t6时m关于t的函数关系式,利用m3.5分类求出点P的坐标即可,【自主解答】 (1)方程x211x300的解为x15, x26,OBOC,
9、OB6,OC5,B点坐标为(6,0) 如图,作AMx轴于M, OAB90且OAAB, AOB为等腰直角三角形, OMBMAM OB3,,A点坐标为(3,3),【归纳总结】 这样的动点问题涉及面广,要求有扎实的数学知识做基础,主要考查逻辑推理能力,难度大,不易解决,4(2017日照)如图,BAC60,点O从A点出发,以 2 cm/s的速度沿BAC的角平分线向右运动,在运动过程 中,以O为圆心的圆始终保持与BAC的两边相切,设O的 面积为S(cm2),则O的面积S与圆心O运动的时间t(s)的函 数图象大致为( ),5(2016遵义)如图,四边形ABCD中,ABCD,ADC 90,P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按 ABCD的顺序在边上匀速运动,设P点的运动时间为 t s,PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图所示,当 P运动到BC中点时,PAD的面积为_.,5,