命题与证明.

《命题与证明.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《命题与证明.（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、命题与证明,2.2,如：,三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.,不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；,前面我们学习了许多有关三角形的概念,（如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线等）,像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.,例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.,“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.,说出下列概念的定义： （1）方程；,在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的

2、角平分线.,我们把含有未知数的等式叫做方程.,（2）三角形的角平分线.,在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.,数学中同样有许多问题需要我们作出判断.,下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？,（1）三角形的内角和等于180； （2）如果| a | = 3，那么a = 3； （3）1月份有31天； （4）作一条线段等于已知线段； （5）一个锐角与一个钝角互补吗？,一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.,例如，上述语句（1），（2），（3）都是命题；,语句（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.,判断下列语句是不是命题？,1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（

3、 ）,2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ）,3）不相等的两个角不是对顶角（ ）,4）一个平角的度数是180度（ ）,5）南京是中国的首都（ ）,6）取线段AB的中点C；（ ）,7）画两条相等的线段（ ）,命题的结构： 在数学中，许多命题是由 两部分组成的. 是 ， 是由 , 这种命题常可写成 的形式,“如果”开始的部分是条件,“那么”开始的部分是结论.,条件和结论,条件,已知事项,结论,已知事项推出的事项,“如果 那么”,下列命题的表述形式有什么共同点？ （1）如果a=b且b=c,那么a=c； (2)如果两个角的和等于90，那么这两个角互为余角.,观察,它们的表述形式都是“如果，那么”.,

4、例如，对于上述命题（2），“两个角的和等于90”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.,有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.,如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”；,“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等” 可以简写成“同角的余角相等”.,指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式： 同位角相等，两直线平行； 三条边对应相等的两个三角形全等；,如果同位角相等，那么两直线平行。,条件是： 结论是： 改写成：,条件是： 结论是： 改写成：,同位角相等,两直线平行,例,如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个 三角形全等。

5、,这两个三角形全等,两个三角形的三条边对应相等,（3）在同一个三角形中，等角对等边； （4）对顶角相等。,如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。,如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。,条件是： 结论是： 改写成：,条件是： 结论是： 改写成：,同一个三角形中的两个角相等,这两个角所对的两条边相等,两个角是对顶角,这两个角相等,将下列命题改写成”如果”、 “那么”的形式，然后指出它们的条件是什么?结论是什么?,(1)两条直线相交，只有一个交点。,(2)形状和大小相同的两个三角形面积相等.,如果两条直线相交，那么它们只有一个交点。,如果两个三角形的形状和大小相同， 那么

6、这两个三角形面积相等。,条件,结论,条件,结论,1、如果两条直线都平行于同一条直线，那么 这两条件直线平行,两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行,例 指出下列命题的条件和结论,2、如果1=2，2=3， 那么1=3；,1=2，2=3,1=3,（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成 “如果，那么”的形式：,那么这个数是偶数,如果一个数能被2整除,那么这两个角是对顶角,如果两个角有公共顶点,那么它们的同位角相等,如果两条直线平行,那么这两条直线平行,如果两个同位角相等,（2）上述命题与的条件与结论之间有什么联系？,两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行.,命题与的条件与结论互换了位

7、置.,对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.,例如，上述命题与就是互逆命题.,从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.,1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？,（2）两点之间线段最短；,（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.,（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？,（1）如果x=3，求 的值；,不是命题,是命题,不是命题,是命题,2. 将下列命题改写成“如果，那么”的形式.,（1）两条直线相交，只有一个交点；,（2）个位

8、数字是5的整数一定能被5整除；,答：如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.,答：如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.,（3）互为相反数的两个数之和等于0；,答：如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.,（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.,答：如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.,3. 写出下列命题的逆命题：,（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；,（2）如果m是整数，那么它也是有理数；,（3）两直线平行，内错角相等；,（4）两边相等的三角形是等腰三角形.,答：绝对值相等的两个数相等,答：如果m是有理数，那么它也是整数,答：内错角

9、相等，两直线平行,答：等腰三角形的两边相等,下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.,（1）每一个月都有31天；,（2）如果a是有理数，那么a是整数.,（3）同位角相等；,（4）同角的补角相等.,错误,错误,错误,正确,上面四个命题中，命题（4）是正确的，,命题（1），（2），（3）都是错误的.,我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.,要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.,例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.,要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），

10、它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.,例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.,我们通常把这种方法称为“举反例”.,判断下列命题为真命题的依据是什么？,（1）如果a是整数，那么a是有理数；,（2）如果ABC是等边三角形，那么ABC是 等腰三角形.,分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断.,从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.,事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是

11、远远不够的.,古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.,基本事实 同位角相等，两直线平行.,内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.,我们把经过证明为真的命题叫作定理.,例如，“三角形的内角和等于180”称为“三角形内角和定理”.,本书中，我们把少数真命题作为基本事实.,例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.,人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.,例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行

12、线的结论.,定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.,例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.,当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.,例如，“如果1和2是对顶角，那么1=2”是真命题，但它的逆命题“如果1=2，那么1和2是对顶角”就是假命题.,如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.,我们前面学过的定理中就有互逆的定理.,例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.,所以每个命题都有逆命题

13、，但并不是每个定理都有逆定理.,1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由.,（1）绝对值最小的数是0；,答：真命题,（2）相等的角是对顶角；,（3）一个角的补角大于这个角；,（4）在同一平面内，如果直线al，bl， 那么ab.,答：假命题,答：假命题,答：真命题,2. 举反例说明下列命题是假命题：,（1）两个锐角的和是钝角；,（2）如果数a，b的积ab0，那么a，b都是正数；,（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.,答：直角三角形的两个锐角和不是钝角,答：-1和-3的积是(-1)(-3)0，-1和-3不是正数.,答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截， 它们的同位

14、角不相等,3. 试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题， 而且都是真命题.,答：两直线平行，内错角相等。 内错角相等，两直线平行。,采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.,观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.,从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360，但不能很准确地都得到360.,另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360.,数学上证明一个命题时，通

15、常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.,证明的每一步都必须要有根据.,此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.,要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.,在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：,已知：如图，BAF，CBD和ACE分别是ABC的三个外角.,求证：BAF+CBD+ACE=360.,证明命题“三角形的外角和为360”是真命题.,证明:, BAF=2+3，,CBD=1+3，,ACE=1+2（三角形外角定理），,BAF+CBD+ACE=2(1+2+3) (等式的性质).,1+2+3=180(三角形内角和定理)，, BAF+CBD+ACE=2180=360.,证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：,第一步,第二步,第三步,画出图形,写出已知、求证,写出证明的过程,证明：DAC =B +C（三角形外角定理），,B=C（已知），, DAC=2B（等式的性质）.,又AE平分DAC（已知），,DAC=2DAE（角平分线的定义）,DAE=B（等量代换）.,AEBC（同位角相等，两直线平行）,举 例,例1 已知：如图，在ABC中，B=C，点D在线 段BA的延长线上，射