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1、 温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十一)几何概型一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014湖南高考)在区间-2,3上随机选取一个数X,则X1的概率为()A.45B.35C.25D.15【解析】选B.基本事件空间为区间-2,3,它的度量是长度5,X1的度量是长度3,所以所求概率为35.2.(2013黄冈高一检测)设不等式组0x2,0y2,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离小于等于2的概率是()A.4B.-22C.6D.4-4【解析】选A.平面区域D的面
2、积为4,到坐标原点的距离小于等于2的点所在区域的面积为,由几何概型的概率公式可知区域D内一个点到坐标原点的距离小于等于2的概率为4.【举一反三】若在区域D内随机取一点,则此点到坐标原点的距离大于1的概率为()A.12B.1-4C.14D.1-16【解析】选D.平面区域D的面积为4,到坐标原点的距离小于等于1的点所在区域的面积为4,由几何概型的概率公式可知区域D内一个点到坐标原点的距离大于1的概率为1-16.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是()A.13B.16C.12D.14【解析】选B.体积型几何概型问题.4.(2014大庆高一检测)如图,
3、在一个边长为a,b(ab0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为a3与a2,高为b.向该矩形内随机地投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为()A.112B.14C.512D.712【解析】选C.S矩形=ab.S梯形=1213a+12ab=512ab.故所投的点落在梯形内部的概率P=S梯形S矩形=512abab=512.5.(2013汉中高一检测)在区间0,10内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间0,10内的概率是()A.110B.1010C.4D.40【解析】选D.设取出的两个数为a,b,则a,b0,10,(a,b)构成区域的总面积为100,而a2+b210时,点(a,b)在以原点为
4、圆心,以10为半径的圆位于第一象限的区域,面积为52,所以这两个数的平方和也在区间0,10内的概率是面积之比,为52100=40.6.(2013陕西高考)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是()A.1-4B.2-1C.2-2D.4【解题指南】由几何概型的概率计算公式可知只需计算图中阴影部分的面积与矩形的面积之比即可.【解析】选A.由题设可知,矩形ABCD的面积为2,曲边形DEBF的面积为2-2,故所求概率为2-22=1-4
5、.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014深圳高一检测)在区间-1,2上随机取一个数x,则x0,1的概率为.【解析】-1,2的长度为3,0,1的长度为1,所以所求概率是13.答案:138.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,则发现大肠杆菌的概率为.【解析】大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的,且结果有无限个,属于几何概型.设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A,则事件A构成的区域体积是2毫升,全部试验结果构成的区域体积是400毫升,则P(A)=2400=0.005.答案:0.0059.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P,则使点P到三个顶
6、点的距离至少有一个小于1的概率是.【解题指南】解答本题从正面考虑较繁琐,所以从反面来解答,先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于或等于1”的概率,利用对立事件的概率公式计算.【解析】边长为2的正三角形ABC内,到顶点A的距离小于1的点的集合为以点A为圆心,1为半径,圆心角为A=60的扇形内.同理可知到顶点B,C的距离小于1的点的集合.故使点P到三个顶点的距离都大于或等于1的概率为1223-316121223=1-36,故所求的概率为1-1-36=36.答案:36三、解答题(每小题10分,共20分)10.甲、乙两人约定在6时到7时之间的某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去,求
7、两人能会面的概率.【解析】以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|15.在如图所示的平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,其面积用S表示,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示,面积为SA.由几何概型的概率公式得:P(A)=SAS=602-452602=3 600-2 0253 600=716.所以,两人能会面的概率是716.11.如图,AOB=60,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,试求:(1)AOC为钝角三角形的概率.(2)AOC为锐角三角形的概率.【解析】如图,由平面几何知识:当ADOB
8、时,OD=1;当OAAE时,OE=4,BE=1.(1)当且仅当点C在线段OD或BE上时,AOC为钝角三角形,记“AOC为钝角三角形”为事件M,则P(M)=OD+EBOB=1+15=0.4,即AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C在线段DE上时,AOC为锐角三角形,记“AOC为锐角三角形”为事件N,则P(N)=DEOB=35=0.6,即AOC为锐角三角形的概率为0.6.一、选择题(每小题4分,共16分)1.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为()A.12B.13C.16D.112【解题指南】从角度方面考虑,注意和射线的区别.【解析】选B.由于直线向两
9、端无限延伸,当直线绕点A旋转时,直线和线段BC相交的概率为120360=13.【举一反三】若将直线改为射线呢?【解析】选C.由于射线不是向两端无限延伸,当射线绕点A旋转时,射线和线段BC相交的概率为60360=16.2.某人从甲地去乙地共走了500m,途中要过一条宽为xm的河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,物品不掉在河里就能找到,已知该物品能被找到的概率为2425,则河宽为()A.16mB.20mC.8mD.10m【解析】选B.物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的,所以符合几何概型的条件.找到的概率为2425,即掉到河里的概率为125,则河流的宽度占总距离的125,所
10、以河宽为500125=20(m).3.(2014郑州高一检测)如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1),如果撒一粒黄豆落在阴影部分,则可中奖.小明希望中奖,则应选择的游戏盘是()【解析】选A.P(A)=38,P(B)=26=13,P(C)=1-41=1-4,P(D)=1,则P(A)最大,故选A.4.在长为10厘米的线段AB上任取一点G,用AG为半径作圆,则圆的面积介于36平方厘米到64平方厘米的概率是()A.925B.1625C.310D.15【解析】选D.以AG为半径作圆,面积介于36平方厘米到64平方厘米,则AG的长度应介于6厘米到8厘米之间.所以所求概率P(A)=210=15.
11、【变式训练】(2014海口高一检测)一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.18B.116C.127D.2764【解析】根据几何概型知识,概率为体积之比,即P=(4-2)343=18,选A.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2014重庆高考)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)【解题指南】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,
12、再根据几何概型的概率公式进行求解.【解析】设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后x,y分钟,则由题意知小张比小王至少早5分钟到校需满足y-x5,其中0x20,0y20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小王至少早5分钟到校”构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为P=1215152020=932.答案:9326.在区间-2,3上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d2,455的概率是.【解题指南】由给出的弦长范围,求出圆心到直线ax+y+1=0的距离的范围,再由点到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出a
13、的范围,然后用长度比求概率.【解析】如图.直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d=AB2,455,则半弦长BC22,255,因为圆的半径等于1,所以圆心到直线ax+y+1=0的距离OC55,22,即551a2+122,得-2a-1或1a2.又a-2,3,所以在区间-2,3上任取一个实数a,则使直线ax+y+1=0截圆O:x2+y2=1所得弦长d2,455的概率是-1-(-2)+(2-1)3-(-2)=25.答案:25【误区警示】解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解答过程繁琐、易错,甚至解不出答案.通过本题的解答应该学会抓住问题的本质,适时将问题转化,养成转化
14、与化归的意识.三、解答题(每小题13分,共26分)7.(2014长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1cm的小圆板.规则如下:每掷一次交5角钱,若小圆板压在边上,可重掷一次;若掷在正方形内,需再交5角钱才可玩;若压在正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问:(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?【解析】(1)如图(1)所示,因为圆板的中心O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的,小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1cm时,所以圆板的中心O落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接,这个范围的面积等于92-72=32(cm2),因此所求的概率是3292=3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆板中心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1cm时,如图(2)阴影部分,四块合起来面积为cm2,故所求概率是81.8.在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段,求这三段可以构成三角形的概率.【解析】设构成三角形的事件为A,长度为10的线段被分成三段的长度分别为x,y,10-(x+y),则0x10,0y10,010-(x+y)10,即0x10,0y10,0x+y10.由
