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1、章末总结,网络建构,主题串讲,真题体验,知识辨析,网络建构,知识辨析,判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”) 1.一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) 2.空集是任何集合的真子集.( ) 3.集合A与集合A在全集U中的补集没有公共元素.( ) 4.若非空数集f:AB能构成函数,且该函数的值域是C,则C=B.( ) 5.函数一定是映射,但映射不一定是函数.( ) 6.在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.( ) 7.任何函数都具有单调性.( ) 8.奇偶函数的定义域关于原点对称.( ) 9.若y=f(x)是奇函数,则一定有f(0)=0.( ),一、
2、集合间的关系及运算 【典例1】 若集合A=x|-2x4,B=x|x-m0. (1)若m=3,全集U=AB,试求A(UB); (2)若AB=A,求实数m的取值范围.,主题串讲方法提炼总结升华,解:集合A=x|-2x4,B=x|x-m0. (1)当m=3时,由x-m0,得x3, 所以B=x|x3,所以U=AB=x|x4,那么UB=x|3x4. 所以A(UB)=x|3x4. (2)因为A=x|-2x4,B=x|xm, 所以AB=A,所以AB,故m4.所以实数m的取值范围是4,+).,规律方法 (1)集合间运算的常用技巧:借助于数轴;利用Venn图.(2)集合间关系及运算中的注意事项:当涉及集合间关系
3、和运算的有关问题,如AB,AB= ,AB=B等时,都有可能涉及集合A或B为空集的情况.由集合间关系或运算求参数时,要注意端点“=”的取舍.,二、函数的概念及表示 【典例2】 (1)已知f(x)是一次函数,且3f(1)-2f(2)=-5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为( ) (A)f(x)=3x-2 (B)f(x)=3x+2 (C)f(x)=2x+3 (D)f(x)=2x-3,解析:(1)由题意f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b, 因为3f(1)-2f(2)=-5,2f(0)-f(-1)=1, 可得3k+3b-4k-2b=-5,2b+k-b=1, 解得k=3,b=-2.
4、所以f(x)的解析式为f(x)=3x-2,故选A.,(A)fpf(0)=ffp(0) (B)fpf(1)=ffp(1) (C)fpfp(2)=ff(2) (D)fpf(3)=ff(3),规律方法 (1)解决函数问题应坚持定义域优先原则,尤其是求解分段函数的函数值时,要先判断自变量的取值范围. (2)函数定义域,即使函数解析式有意义的自变量的取值范围. (3)求函数值域与最值常用的方法有图象法,配方法和单调性法,注意函数性质的综合应用.,三、函数图象的识别与应用 【典例3】 (1)函数y=ax2+a与y= (a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ),解析:(1)由函数y=ax2+a中一次项
5、系数为0,我们易得函数y=ax2+a的图象关于y轴对称,可排除A.当a0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向上,顶点(0,a)在x轴上方,可排除C.当a0时,函数y=ax2+a的图象开口方向向下,顶点(0,a)在x轴下方,函数y= (a0)的图象位于第二、四象限,可排除B,故选D.,答案:(1)D,(2)定义在(-,0)(0,+)上的奇函数f(x),在(0,+)上为增函数,当x0时,f(x)的图象如图所示,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集是 .,答案:(2)(-3,0)(0,3),规律方法 (1)识图.识别函数的图象,实质就是分析函数的性质,主要观察以下几点:函数的定义域;函数图象的最
6、高点(即最大值)和最低点(即最小值);与坐标轴的交点(即f(x)=0或x=0的点);图象的对称性(即函数的奇偶性);函数图象在某段区间上的变化趋势(即函数的单调性). (2)用图.因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质,所以在研究函数的性质时要注意结合图象,在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合能达到快速解题的目的.,四、二次函数单调性及最值问题 【典例4】 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5. (1)若y=f(x)在-5,5上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)求y=f(x)在区间-5,5上的最小值.,解:函数f(x)=x2+2ax+2,x-5,5的对称轴为x=
7、-a, (1)若y=f(x)在-5,5上是单调函数, 则-a-5或-a5,即a-5或a5,即a的取值范围是(-,-55,+). (2)-a-5,即a5时,f(x)在-5,5上单调递增,f(x)的最小值是f(-5)=27-10a. -a5,即a-5时,f(x)在-5,5上单调递减,f(x)的最小值是f(5)=27+10a.,规律方法 (1)二次函数的单调性以其对称轴为分界线,二次函数在对称轴两侧单调性相反. (2)求二次函数的最值或值域,基本的方法是配方法,当限定在某个闭区间上时,关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给定区间的相对位置,结合函数图象确定该函数的单调性,最大值或最小值是在端点处
8、取得,还是在顶点处取得.求解二次函数在给定区间的最值问题,可画出二次函数的图象帮助分析问题.,即时训练:已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中a0,aR. (1)若a=1,作函数f(x)的图象;,(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.,五、抽象函数性质问题 【典例5】 若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)-1成立,且当x0时,f(x)1. (1)求证:y=f(x)-1为奇函数;,(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2R,都有f(x1+x2)=f(x1)+ f(x2)-1成立, 所
9、以令x1=x2=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)-1, 即f(0)=1. 令x1=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1=1, 所以f(x)-1+f(-x)-1=0, 故y=f(x)-1为奇函数.,(2)求证:f(x)是R上的增函数;,(2)证明:由(1)知y=f(x)-1为奇函数, 所以f(x)-1=-f(-x)-1. 任取x1,x2R,且x10. 所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1 =f(x2)-f(x1)-1 =f(x2)-f(x1)+1. 因为当x0时,f(x)1, 所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+11, 即f(x1)f(x2),
10、故f(x)是R上的增函数.,(3)若f(4)=5,解不等式f(3m-2)3.,规律方法 解决函数的单调性与奇偶性时的三点注意:(1)要证明函数f(x)在区间D上不是单调函数,只要举一反例即可,即只要找到两个特殊的x1,x2,不满足定义即可.,(3)如果f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|),如果f(x)是奇函数,那么f(0)=0(x=0处有定义),解题时常用.,六、恒成立问题 【典例6】 已知函数f(x)=x2+ax+3,当x-2,2时,f(x)a恒成立,求a的最小值.,规律方法 涉及与最值有关的恒成立问题的主要解题思路是: 若af(x)恒成立,则af(x) max; 若af(x)恒成立
11、,则af(x)min.,七、易错题辨析 【典例7】 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+)上是增函数,若f(2 016)=0,则f(x)0的解集是 .,错解:因为f(x)0且f(2 016)=0, 所以f(x)f(2 016). 又f(x)是(0,+)上的增函数. 所以x2 016. 错因分析:由于y=f(x)是R上的偶函数,因此函数y=f(x)在(-,0)上是减函数,上述求解过程忽视了偶函数的性质.,正解:因为f(x)是R上的偶函数, 所以f(-x)=f(x)=f(|x|). 又f(x)在(0,+)上是增函数且f(2 016)=0. 所以f(x)f(2 016),即f(|x|)f(
12、2 016). 所以|x|2 016. 所以x2 016或x-2 016. 答案:(-,-2 016)(2 016,+),真题体验真题引领感悟提升,1.(2017全国卷)已知集合A=x|x0,则( ),A,2.(2017全国卷)设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1,则B等于( ) (A)1,-3 (B)1,0 (C)1,3 (D)1,5,C,解析:因为AB=1, 所以1B, 所以m=3, 所以B=x|x2-4x+3=0=1,3.故选C.,3.(2017全国卷)设集合A=1,2,3,B=2,3,4,则AB等于( ) (A)1,2,3,4 (B)1,2,3 (C)2,3,4
13、 (D)1,3,4,解析:A=1,2,3,B=2,3,4,AB=1,2,3,4,故选A.,A,4.(2017全国卷)已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4,B,解析:AB=2,4,含有2个元素,故选B.,5.(2017全国卷)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)= -1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是( ) (A)-2,2 (B)-1,1 (C)0,4 (D)1,3,D,解析:因为f(x)是奇函数, 且f(1)=-1, 所以f(-1)=-f(1)=1. 所以f(1)f(x-2)f(-1). 又因为f(x)在(-,+)上单调递减, 所以-1x-21. 所以1x3.故选D.,6.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x(-,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .,解析:因为x(-,0),f(x)=2x3+x2且为奇函数, 所以f(-2)=2(-8)+4=-12, 又因为f(-2)=-f(2)=-12, 所以f(2)=12.,答案:12,谢谢观赏！,
