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1、双曲线专题复习讲义双曲线专题复习讲义 知识梳理知识梳理 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当 1212 | 2|PFPFaFF时, P的轨迹为双曲线; 当 1212 | 2|PFPFaFF时, P的轨迹不存在; 当 2121 2|FFaPFPF时, P的轨迹为以 21 FF、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1e)的点的轨 迹为双曲线 2. 双曲线的标准方程与几何性质 标准方程 )0,( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0,( 1 2 2 2 2 ba b x a y 性 质 焦点 )0 ,(),0 ,(c
2、c ， ), 0(), 0(cc 焦距 c2 范围 Ryax ,| Rxay ,| 顶点 )0 ,(),0 ,(aa ), 0(), 0(aa 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率 (1,) c e a 准线 c a x 2 c a y 2 渐近线 x a b y x b a y 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0( 2 2 2 2 b y a x 与双曲线1 2 2 2 2 b y a x 共轭的双曲线为 22 22 1 yx ba 等轴双曲线 222 ayx的渐近线方程为xy ，离心率为2e.； 重难点突破重难点突破 1.注意定义中“陷阱”
3、 问题 1：已知 12 ( 5,0),(5,0)FF，一曲线上的动点P到 21,F F距离之差为 6，则双曲线的方 程为 点拨：一要注意是否满足 12 2|aFF，二要注意是一支还是两支 A B C P O x y 12 | 610PFPF ， P的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0( 1 169 22 x yx 2.注意焦点的位置 问题 2：双曲线的渐近线为xy 2 3 ，则离心率为 点拨：当焦点在 x 轴上时， 2 3 a b ， 2 13 e；当焦点在 y 轴上时， 2 3 b a ， 3 13 e 热点考点题型探析热点考点题型探析 考点考点 1 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方
4、程 题型题型 1 1：运用：运用双曲线的定义双曲线的定义 例 1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响， 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的 距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点 均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的 解析如图，以接报中心为原点 O，正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A（1020，0） ，B（1020，0）
5、，C（0，1020） 设 P（x,y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故 P 在 AC 的垂直平分 线 PO 上， PO 的方程为 y=x， 因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声， 故|PB| |PA|=3404=1360 由 双 曲 线 定 义 知 P 点 在 以 A 、 B 为 焦 点 的 双 曲 线 1 2 2 2 2 b y a x 上， 依题意得 a=680, c=1020， 1 3405680 34056801020 2 2 2 2 222222 yx acb 故双曲线方程为 用 y=x 代入上式，得5680x，|PB|PA|, 10680),5
6、680, 5680(, 5680, 5680POPyx故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心m10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设 P 为双曲线1 12 2 2 y x上的一点 F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2， 则PF1F2的面积为 （ ） A36 B12 C312 D24 解析：2:3|:|,13,12, 1 21 PFPFcba由 又, 22| 21 aPFPF 由 、 解得. 4| , 6| 21 PFPF ,52| ,52| 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 为 21F PF直
7、角三角形， .1246 2 1 | 2 1 21 21 PFPFS FPF 故选 B。 2.如图 2 所示，F为双曲线1 169 : 22 yx C的左 焦点，双曲线C上的点 i P与3 , 2 , 1 7 iP i 关于y轴对称， 则FPFPFPFPFPFP 654321 的值是（ ） A9 B16 C18 D27 解析 FPFP 61 FPFP 52 6 43 FPFP，选 C 3. P 是双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距 为 2c，则 21F PF的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A）a （B）b （C）c （
8、D）cba 解析设 21F PF的内切圆的圆心的横坐标为 0 x， 由圆的切线性质知，axacxxcPFPF 00012 2| )(| 题型题型 2 2 求求双曲线的标准方程双曲线的标准方程 例 2 已知双曲线 C 与双曲线 16 2 x 4 2 y =1 有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线 C 的方程 【解题思路】运用方程思想，列关于cba,的方程组 解析 解法一：设双曲线方程为 2 2 a x 2 2 b y =1.由题意易求 c=25. 又双曲线过点（32，2） ， 2 2 )23( a 2 4 b =1. 又a 2+b2=（2 5） 2，a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程
9、为 12 2 x 8 2 y =1. 解法二：设双曲线方程为 k x 16 2 k y 4 2 1， 将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为 12 2 x 8 2 y 1. 【名师指引】求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】 4.已知双曲线的渐近线方程是 2 x y，焦点在坐标轴上且焦距是 10，则此双曲线的方程 为 ； 解析设双曲线方程为 22 4yx， 当0时，化为1 4 22 yx ，2010 4 5 2 ， 当0时，化为1 4 22 yy ，2010 4 5 2 ， 综上，双曲线方程为
10、 22 1 205 xy 或1 205 22 xy 5.以抛物线xy38 2 的焦点F为右焦点,且两条渐近线是03 yx的双曲线方程为 _. 解析 抛物线xy38 2 的焦点F为)0 , 32(，设双曲线方程为 22 3yx， 9)32( 3 4 2 ，双曲线方程为1 39 22 yx 6.已知点( 3,0)M ，(3,0)N，(1,0)B，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相 切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 A 2 2 1(1) 8 y xx B 2 2 1(1) 8 y xx C1 8 2 2 y x（x 0） D 2 2 1(1) 10 y xx 解析2BNBMPNPM，
11、P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为 2 的双曲线 的右支，选 B B 考点考点 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 题型题型 1 1 求求离心率或离心率的范围离心率或离心率的范围 例 3 已知双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 的左，右焦点分别为 12 ,F F，点 P 在双曲 线的右支上，且 12 | 4|PFPF，则此双曲线的离心率 e 的最大值为 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决 解析(方法 1)由定义知 12 | 2PFPFa， 又已知 12 | 4|PFPF， 解得 1 8 3 PFa， 2 2 3 PFa，在 12 PFF中，由余弦定理，
12、得 2 222 21 8 9 8 17 3 2 3 8 2 4 9 4 9 64 cose aa caa PFF ， 要求e的最大值，即求 21 cosPFF的最小值，当1cos 21 PFF时，解得 5 3 e 即e的 最大值为 5 3 (方法 2) ac a PF a PF PFa PF PF 2 1 | 2 1 | |2 | | 22 2 2 1 ， 双曲线上存在一点 P 使 12 | 4|PFPF，等价于 3 5 , 4 2 1 e ac a (方法 3)设),(yxP， 由焦半径公式得aexPFaexPF 21 ,， 21 4PFPF ， )(4)(aexaex， x a e 3 5
13、 ，ax ， 3 5 e，e的最大值为 5 3 【名师指引】 （1）解法 1 用余弦定理转化，解法 2 用定义转化，解法 3 用焦半径转化； （2）点 P 在变化过程中， | | 2 1 PF PF 的范围变化值得探究； （3）运用不等式知识转化为cba,的齐次式是关键 【新题导练】 7.已知双曲线 22 1 xy mn 的一条渐近线方程为 4 3 yx，则该双曲线的离心率e 为 解析当0, 0nm时， 16 9 n m ， 9 25 2 m nm e，当0, 0nm时， 9 16 n m ， 16 25 2 n nm e，e 5 3 或 5 4 8. 已知双曲线)0, 0( 1 2 2 2
14、2 ba b y a x 的右顶点为 E，双曲线的左准线与该双曲线的两 渐近线的交点分别为 A、B 两点，若AEB=60，则该双曲线的离心率 e 是（ ） A 2 15 B2 C 2 15 或 2 D不存在 解析设双曲线的左准线与x轴交于点D,则 c ab AD ， c a aED 2 ， c a a 2 c ab 3， 2e 题型题型 2 2 与渐近线有关的问题与渐近线有关的问题 例 4若双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的 离心率为 （ ） A.2 B.3 C.5 D.2 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通cba,的关系 解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故ab2，51 2 2 2 2 2 a b a c e,所以5e 【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过cba,的比例关系可以求离心率, 也可以求渐近线方程 【新题导练】 9. 双曲线 22 1 49 xy 的渐近线方程是 ( ) A.
