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1、6 频率响应分析法2 1、频率响应法 基本思想基本思想是把系统中的信号分解为多种不同频率 的正弦信号，这些信号经过控制系统时，会以一 定的规律产生幅值和相位的变化产生幅值和相位的变化，通过分析这些 变化规律就能得出关于系统运动的性能指标。 由于幅值和相位的变化称频率特性函数可以绘制 在图形上，因此该方法非常直观。另外，可以用 实验法建立系统的模型，也可以据开环频率特性 分析闭环系统的特性。该方法具有很高的工程价 值，深受工程技术人员欢迎。 6 频率响应分析法3 频率特性函数 在线性系统的输入端加上正弦信号，由电路理论可 知，稳定系统的稳态输出为同频率的正弦信号： )(sin)()( )sin(
2、)( jGtRjGtc tRtr m m += = 则 令 )(sR )(sG )(sC )(tr)(tc )()()(jRjGjC=上式可以进一步写成 22 )sin( + = s tL 6 频率响应分析法4 频率特性函数与传递函数 = = 输出信号的相位领先量相移相频特性 振幅之比频谱幅频特性 ,)()( ,)()( jG jGA 频率特性函数表示输入正弦信号和输出信 号的幅值和相位变化，也是描述系统的一 种模型，称为频率域模型频率域模型。 js sGjG jG = =)()( ,)(与传递函数的关系为称为频率特性函数 6 频率响应分析法5 2、频率特性的图示方法 为了直观地分析系统的特性
3、，通常把幅频 和相频特性以图形的形式表示出来： 1. 幅相频率特性（奈氏图） 2. 对数频率特性（Bode图） 3. 对数幅相特性（尼氏图） 6 频率响应分析法6 2.1 幅相频率特性图 极坐标图：奈奎斯特(Nyquist)图，幅相特 性图，当频率连续变化时，频率特性函数 在复平面的运动轨迹在复平面的运动轨迹。 G(j)=x() + j y() ：0+ 6 频率响应分析法7 奈奎斯特(Nyquist)图举例 1 )(, 1 )( + = + = Tj K jG Ts K sG 频率特性为一阶系统例 + = += 00 22 90090)( 00)( 0 )arctan()( 1/)( KA T
4、 TKA = = 0 + = 0 += )(jG 6 频率响应分析法8 2.2 对数频率特性（Bode图） 对数坐标图：伯德(Bode)图，由两辐图组 成。对数幅频特性图+对数相频特性图，横 坐标为频率的(以10为底数)对数，单位是10 倍频程(dec)。 对数幅频图的纵坐标为幅频的对数幅频的对数，单位为分 贝(dB) 对数相频图的纵坐标为相频值相频值，单位为弧度 6 频率响应分析法9 = = = = = = +=+= 0 2222 900)( /1)lg(20 /13 /1:0 )( 0 )arctan()( ) 1lg(10)1lg(20)( TT Tdb T L T dBTTL 水平线
5、是惯性单元的图形 以横轴翻转 )(L )( decdB /20 转折频率: 1 T 6 频率响应分析法22 3.6 延迟(纯滞后)环节的频率特性 = = = )( 0)( )( L esG s 唯一的作用是带来相位 的滞后（与频率成正比） )(L )( 0 180 0 90 6 频率响应分析法23 3.7 用Matlab绘制频域特性图 sys = tf(num,den); 伯德图 bode(sys); mag,phase,w = bode(sys); 奈奎斯特图 nyquist(sys); re,im,w = nyquist(sys); 尼科斯图 nichols(sys); mag,phase
6、,w = nichols(sys); 6 频率响应分析法24 4. 频域性能指标 )0( 2 1 )(1 . 4GjG bb =带宽 下降为零频率幅频值 的0.707时的频率 T b 1 =的转折频率一阶系统的带宽等于他 nb TT =+= 1 1)21 ()21 ( 1 222 由定义可以推出二阶欠阻尼系统的带宽 带宽越大，系统复现输入信号的能力就越强 6 频率响应分析法25 1)()(2 . 4= cc jG幅值剪切频率截止频率 高于此频率的信号 在传递中会衰减 强系统复现信号的能力越截止频率越大, 产生谐振峰的频率谐振频率 幅频响应的最大值二阶系统的谐振峰 )( )(3 . 4 r r
7、M 707. 00 12 1 21 2 2 = = r nr M 阻尼比大于0.707时 不会产生谐振 6 频率响应分析法26 对数频域特性图与频域性能指标 0分贝对应的频率： 截止频率 -3分贝对应的频率： 带宽 6 频率响应分析法27 5. 开环传递函数的频率特性 5.1 开环对数频率特性的绘制 以典型环节的频率特性为依据进行迭 加； 首先考虑积分环节和比例环节； 充分利用环节的特征点。 6 频率响应分析法28 例1：二阶系统的对数频率特性 图绘制系统的传递函数为例Bode ss sG, ) 11 . 0( 1000 )(1 + = 11 . 0 1 )( 1 )(1000)(3)( 32
8、1 + = s sG s sGsGsG个基本单元分解为 转折频率=10 dBLsGsG60)(, 1)()( 21 =+ = += )1 . 0arctan(90)( )01. 01lg(10lg2060)( 2 L 6 频率响应分析法29 1101001000 20 40 60 20 1101001000 0 90 0 180 decdB/40 积分和比例环节 决定的基准点 decdB/20 6 频率响应分析法30 num=1000; den=0.1,1,0; sys=tf(num,den); bode(sys); 6 频率响应分析法31 图绘制系统的传递函数为例Bode ssss sG,
9、) 175. 03906. 0)(136. 0( 86. 0 )(2 2 + = 175. 03906. 0 1 )( 136. 0 1 )( 1 )(86. 0)(4 2 4321 + = + = ss sG s sG s sGsG个单元含 64 . 0 204 . 0 )lg(6 . 1 3906. 0 1 175. 03906. 0 1 )( 4437 . 0 )lg(78. 2 36. 0 1 136. 0 1 )( 0)(, 1 1 )( 3 . 1)86 . 0 lg(2086. 0)( 44 2 4 333 2 1 = + = = + = = = cc cc ss sG s sG
10、 L s sG dBsG 6 频率响应分析法32 decdB/80 1101001000 20 40 60 20 积分和比例环节 决定的基准点 decdB/20 对数幅频=-1.3dB 6 . 1=78. 2= decdB/60 1101001000 0 90 0 180 0 270 0 360 = = 0 3 0 4 269)( 210)( c c -210度 -269度 6 频率响应分析法33 sys=tf(0.86,1,0)*tf(1,0.36,1)*tf(1,0.3906,0.75,1); bode(sys); 6 频率响应分析法34 5.2 系统的稳定裕量 由于系统的参数随工 况变化
11、，因此系统不 仅要稳定，还需要有 一定的稳定裕量 稳定裕量从开环频率 特性确定 稳定裕量从开环频率 特性确定 增益稳定裕量 相位稳定裕量 g f 6 频率响应分析法35 6 频率响应分析法36 )(lg20)( )( 1 )3( fom fo m jGdbG jG G =或增益裕量 表示闭环系统变成不稳定前，还可以增大的倍数 )(180)4( 0 gm jGF+=相位裕量 表示闭环系统变成不稳定前，还可以滞后的相位数 0)(lg201)()() 1 (= ggg jGjG或频率剪切增益穿越 0 180)()()2(= ff jG频率剪切相位穿越 6 频率响应分析法37 稳定裕量的例题稳定裕量的
12、例题 6 频率响应分析法38 5.3 奈奎斯特判据 奈奎斯特判据可以根据系统的开环频率特性，判 别闭环系统的稳定性，其理论基础是复变函数中 的辐角定理。 辐角定理：设C(s)是复变量s的单值解析函数，在 s平面上任取一条不包含C(s)的零点和极点的封闭 曲线L，曲线L内部包含C(s)的Nz个零点和Np极 点，则当动点s沿顺时钟方向运动一周时，C(s)的 曲线在复平面上为一封闭曲线，且顺时钟方向包 围原点N=Nz-Np次。 6 频率响应分析法39 Nz个C(s)的零点 Np个C(s)的极点 复平面的原点 C(s)的曲线顺时钟绕原点运 动N=Nz-Np次 6 频率响应分析法40 奈奎斯特判据以及D
13、围线 )(sR )(sG )(sC )(sH 0)()(1)(=+=sHsGsF闭环极点应该满足方程 )()(1)()()(sHsGsCsFsC+=则令辐角定理中的 其分布情况待确定的零点为闭环极点 已知的极点为开环极点 ,)()(1 ,)()(1 sHsG sHsG + + 6 频率响应分析法41 将辐角定理应用于稳定性判别 )()()(FD )()(FD )()(1)(F DD S )()(1 待求数未知闭环极点的零点围线内 开环极点的极点数已知围线内 点与极点：的右半开平面的所有零了 围线包围围线，则也称为该曲线称为奈氏围线， 的右半开平面。包围的曲线可以令辐角定理中 稳定性。就可以判断
14、闭环系统的 的零点的右半平面是否有由于只要知道 s s sHsGs SL sHsGS += + 6 频率响应分析法42 奈奎斯特判据_D围线 (a)虚轴上无开环极点的奈氏围线 半径 (b)原点上有开环极点的奈氏围线 半径 6 频率响应分析法43 )()(1 sHsG+ )()(sHsG 1+G(s)H(s)的原点对应于G(s)H(s)的(-1, j0)点 奈奎斯特稳定判据：若S沿奈氏围线顺时钟方向运动一周 时，G(s)H(s)的曲线绕 (-1, j0) 顺时钟运动N次，则闭环系 统在右半开平面的特征根个数=N+Np 其中Np为G(s)H(s)在右半开平面的极点个数 关键在于如何绘制关键在于如何绘制G(s)H(s)的曲线的曲线 -1 6 频率响应分析法44 的稳定性较小和较大时闭环系统试分析讨论在 系统的开环传递函数为例 K sTsTs K sG, ) 1)(1( )(3 21 + = 奈氏围线取第二种情况原点上有极点解,)(:sG += += + = = + = =+= 2 21 22 21 2 21 2 21 21 2 2 22 1 2 )()1 ()( )()( )( )1 ( )( )( )( )arctan()arctan(90)( ) 1)(1( )( : )()(0:, TTTTN yjx N TTK j N TTK jG TT TT K A jGsGjs
