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1、13.1 坐标系与参数方程,第1课时 坐标系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_ 的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.,1.平面直角坐标系,知识梳理,2.极坐标系,(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系.,对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作
2、点M的 ，叫作点M的 ，有序实数对(，)叫做点的极坐标，记作M(，). 当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值.,极径,极角,(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.,3.常见曲线的极坐标方程,r(02),2rcos ( ),2rsin (0),sin a (0),考点自测,过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.,即为sin 2.,解答,解答,3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.当AOB是等边三角形时，求a的值.,解答,由4sin
3、可得x2y24y，即x2(y2)24.,由对称性知OOB30，ODa.,由sin a可得ya.,设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示.,题型分类 深度剖析,题型一 极坐标与直角坐标的互化,例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0x1)的极坐标方程.,解答,(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.,解答,因为xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos
4、 ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.,思维升华,(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度. (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.,跟踪训练1 (1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.,解答,将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos
5、 0， 整理得2cos .,(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程.,解答,由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为 (R)和cos 2.,题型二 求曲线的极坐标方程,例2 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出曲线C的方程；,解答,设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，,(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂
6、直的直线的极坐标方程.,解答,化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，,思维升华,求曲线的极坐标方程的步骤： (1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.,解答,令0，得1，,所以圆C的圆心坐标为(1,0).,如图所示，因为圆C经过点,于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .,所以圆C的半径,题型三 极坐标方程的应用,例3 (2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，
7、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程；,解答,因为xcos ，ysin ， 所以C1的极坐标方程为cos 2，,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.,由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，,解答,思维升华,(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.,跟踪训练3 (2016广州调研)在极坐标系中，求直线sin( )2被圆4截得的弦长.,解答,课时作业,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,2.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )
8、1与(sin cos )1的交点的极坐标.,解答,曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值.,解答,圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，,直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系， 则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21， 且圆心为(1,0).,因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，
9、 所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,对曲线C1的极坐标方程进行转化：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12sin ，212sin ，x2y212y0， 即x2(y6)236. 对曲线C2的极坐标方程进行转化：,OA4，OB5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,设P点的极坐标为(，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,POP为正三角形，如图所示，,8.在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.,kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当0时，2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解答,M点的直角坐标为(2,0).,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
