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1、重点强化课重点强化课( (一一) ) 函数的图像与性质函数的图像与性质 复习导读 函数是中学数学的核心概念，函数的图像与性质既是中学数学教学的重 点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想 方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质， 并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识 重点 1 函数图像的应用 已知f (x)为偶函数，当x0 时，f (x)Error!则不等式f (x1) 的解 1 2 集为( ) A. 1 4， 2 3 4 3， 7 4 B. 3 4， 1 3 1 4， 2 3 C. 1 3， 3
2、 4 4 3， 7 4 D. 3 4， 1 3 1 3， 3 4 A A 画出函数f (x)的图像，如图， 当 0x 时，令f (x)cosx ，解得 x ； 1 2 1 2 1 3 1 2 当x 时，令f (x)2x1 ，解得 x ， 1 2 1 2 1 2 3 4 故有 x . 1 3 3 4 因为f (x)是偶函数，所以f (x) 的解集为，故f (x1) 的 1 2 3 4， 1 3 1 3， 3 4 1 2 解集为. 1 4， 2 3 4 3， 7 4 迁移探究 1 在本例条件下，若关于x的方程f (x)k有 2 个不同的实数解，求实 数k的取值范围 解 由函数f (x)的图像(图略
3、)可知，当k0 或k1 时，方程f (x)k有 2 个不 同的实数解，即实数k的取值范围是k0 或k1. 12 分 迁移探究 2 在本例条件下，若函数yf (x)k|x|恰有两个零点，求实数k的取 值范围 解 函数yf (x)k|x|恰有两个零点，即函数yf (x)的图像与yk|x|的图像 恰有两个交点，借助函数图像(图略)可知k2 或k0，即实数k的取值范围为k0 或 k2. 12 分 规律方法 1.利用函数的图像研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图像 的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇 偶性 2有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数
4、图像的交点个数；利用此法也可 由解的个数求参数值或范围 3有关不等式的问题常常转化为两个函数图像的上、下关系来解 对点训练 1 已知函数yf (x)的图像是圆x2y22 上的两段弧，如图 1 所示， 则不等式f (x)f (x)2x的解集是_ 图 1 (1,0)(1， 由图像可知，函数f (x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f 2 (x)x，在同一直角坐标系中分别画出yf (x)与yx的图像，由图像可知不等式的 解集为(1,0)(1， 2 重点 2 函数性质的综合应用 角度 1 单调性与奇偶性结合 (1)(2017南昌二模)已知函数f (x)是定义在 R R 上的偶函数， 且当x0，)时，函
5、数f (x)是递减函数，则f (log25)，f ，f (log53)的大 (log3 1 5) 小关系是( ) Af f (log53)f (log25) (log3 1 5) Bf f (log25)f (log53) (log3 1 5) Cf (log53)f f (log25) (log3 1 5) Df (log25)f f (log53) (log3 1 5) (2)(2016天津高考)已知f (x)是定义在 R R 上的偶函数，且在区间(，0)上递 增若实数a满足f (2|a1|)f ()，则a的取值范围是( ) 2 A.(， 1 2) B. (， 1 2) ( 3 2，) C
6、.( 1 2， 3 2) D.( 3 2，) (1)D D (2 2)C C (1)因为f (x)为偶函数，所以f f (log35)f (log35)， (log3 1 5) 而 log53log35log25，则根据f (x)在0，)上是递减函数，得f (log53)f (log35)f (log25)，即f (log25)f f (log53)，故选 D. (log3 1 5) (2)因为f (x)是定义在 R R 上的偶函数，且在区间(，0)上递增，所以f (x)f (x)，且f (x)在(0，)上递减由f (2|a1|)f ()，f ()f ()可得 222 2|a1|，即|a1|
7、，所以 a . 2 1 2 1 2 3 2 角度 2 奇偶性与周期性结合 (2017贵阳适应性考试(二)若函数f (x)asin2xbtanx1，且f (3)5，则f (3)_. 3 令g(x)asin2xbtanx，则g(x)是奇函数，且最小正周期是 ，由f (3) g(3)15，得g(3)4，则g(3)g(3)4，则f (3)g(3) 1g(3)1413. 角度 3 单调性、奇偶性与周期性结合 已知定义在 R R 上的奇函数f (x)满足f (x4)f (x)，且 在区间0,2上是增函数，则( ) Af (25)f (11)f (80) Bf (80)f (11)f (25) Cf (11
8、)f (80)f (25) Df (25)f (80)f (11) D D 因为f (x)满足f (x4)f (x)， 所以f (x8)f (x)，所以函数f (x)是以 8 为周期的周期函数，则f (25)f (1)，f (80)f (0)，f (11)f (3) 由f (x)是定义在 R R 上的奇函数，且满足f (x4)f (x)，得f (11)f (3) f (1)f (1) 因为f (x)在区间0,2上是增函数，f (x)在 R R 上是奇函数， 所以f (x)在区间2,2上是增函数， 所以f (1)f (0)f (1)，即f (25)f (80)f (11) 规律方法 函数性质综合
9、应用问题的常见类型及解题方法 (1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像 的对称性 (2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换， 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 (3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的 区间，然后利用奇偶性和单调性求解 重点 3 函数图像与性质的综合应用 (1)(2017郑州二检)已知函数f (x)Error!函数g(x)f (x)2x恰有三 个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) 【导学号：66482084】 A1,1) B0,2 C2,2) D
10、1,2) (2)已知函数f (x)Error!若方程f (x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实 数a的取值范围是( ) A(，0 B0,1) C(，1) D0，) (1)D D (2 2)C C (1)由题意知g(x)Error! 因为g(x)有三个不同的零点， 所以 2x0 在xa时有一个解由x2，得a2. 由x23x20，得x1 或x2， 由xa，得a1. 综上，a的取值范围为1,2) (2)函数f (x)Error!的图像如图所示， 当a1 时，函数yf (x)的图像与函数f (x)xa的图像有两个交点，即方程f (x) xa有且只有两个不相等的实数根 规律方法 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座” ，即根据分 段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提， 以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能 对点训练 2 (2017云南二次统一检测)已知f (x)的定义域为实数集 R R，任意 xR R，f (32x)f (72x)，若f (x)0 恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之 和等于 75，则n_. 15 由f (32x)f (72x)得函数f (x)的图像关于直线x5 对称，则f (x)0 的n个实根的和为 5n75，解得n15.
