《高中数学 2_1_5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案 新人教b版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2_1_5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算学案 新人教b版必修4（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算1.掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义.(重点)2.理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题.(难点)基础初探教材整理1平行向量基本定理阅读教材P90“例1”以上内容，完成下列问题.1.平行向量基本定理：如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.2.单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向
2、量记作a0，由数乘向量的定义可知：a|a|a0或a0.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若b与a共线，则存在实数，使得ba.()(2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点.()(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.()(4)有相同起点的两个非零向量不平行.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2轴上向量的坐标及其运算阅读教材P91“例2”以下P92“例3”以上内容，完成下列问题.1.规定了方向和长度单位的直线叫做轴.已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向.根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使axe.反过来，任意给定一个实数
3、x，我们总能作一个向量axe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致.单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量).2.x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数.实数与轴上的向量建立起一一对应关系.3.向量相等与两个向量的和：设ax1e，bx2e，于是：如果ab，则x1x2；反之，如果x1x2，则ab；另外，ab(x1x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.4.向量的坐标常用AB表示，则ABe.表示向量，而AB表示数量，且有ABBA0.5.轴上向量的坐标：在数轴x上
4、，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则ABx2x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.6.数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|x2x1|.数轴上点A，B，C的坐标分别为1,1,5，则下列结论错误的是()A.的坐标是2B.3C.的坐标是4 D.2【解析】答案C不正确.故选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型平行向量基本定理的应用如图2131所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BNBD.
5、求证：M，N，C三点共线.【导学号：72010051】图2131【精彩点拨】利用向量的运算法则将，两向量分别用，表示出来，再利用平行向量基本定理判定，共线，从而证明M，N，C三点共线.【自主解答】设a，b，则ab，ab，a，b，ab，aab，又M为公共点，M、N、C三点共线.平行向量基本定理有两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等.(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据.再练一题1.已知任意两个非零向量a，b，作ab，a2b，a3
6、b.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【解】因为(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.所以，且有公共点A，所以A，B，C三点共线.用平行向量基本定理证明几何问题已知梯形ABCD中，ABDC，E，F 分别是AD，BC的中点，求证：EF ABDC.图2132【精彩点拨】解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证.【自主解答】延长EF 到M，使EF F M，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四边形法则得().由于ABDC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数，使.由三角形法则得，且0，(
7、)()()，.由于E，D不共点，EF DCAB.1.用平行向量基本定理证直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明.2.用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系.再练一题2.(2016石家庄高一检测)已知e，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足e2f ，4ef ，5e3f .(1)将用e，f 表示；(2)证明四边形ABCD为梯形.【解】(1)根据向量求和的多边形法则，有(e2f )(4ef )(5e3f )(145)e(213)f 8
8、e2f .(2)证明：因为8e2f 2(4ef )2，即2.所以，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四边形ABCD为梯形.轴上向量的坐标及其运算已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值.(3)若3，求证：34.【精彩点拨】解答本题首先据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解.【自主解答】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)因为，而3AD，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.正确理解和运用轴上向量的坐标
9、及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.再练一题3.已知数轴上A、B两点的坐标为x1，x2，求，的坐标和长度.(1)x12，x25.3；(2)x110，x220.5.【解】(1)x12，x25.3，AB5.327.3，BA2(5.3)7.3.|7.3，|7.3.(2)同理AB10.5，BA10.5.|10.5，|10.5.探究共研型向量共线问题探究1已知m，n是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断a与b是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一
10、个实数，使得ab即可.若a与b共线，则存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共线，不存在同时满足此方程组，a与b不共线.探究2已知e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？【提示】e1，e2共线，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a与b共线.当时，b0，a与b共线.探究3设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1e2和e1ke2共线？【提示】设ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，只能有则k1.已知非零向量
11、e1，e2不共线.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求证A，B，D三点共线.【精彩点拨】欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使BA即可.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A，A，B共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.再练一题4.设两个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A，B，
12、D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【解】设存在kR，使得A，B，D三点共线，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三点共线.1.以下选项中，a与b不一定共线的是()A.a5e1e2，b2e210e1B.a4e1e2，be1e2C.ae12e2，be22e1D.a3e13e2，b2e12e2【解析】只有C选项不一定共线.【答案】C2.已知数轴上两点A、B的坐标分别是4，1，则AB与|分别是()A.3,3B.3,3C.3，3 D.6,6【解析】AB1(4)3，|3.【答案】B3.如图2133所示，已知3，3，则向量与的关系为()图2133A.共线B.同向C.共线且同向D.共线、同
