全国高中数学联赛江西赛区预赛12年试题解答(2005——2016年)

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1、全国高中数学联赛 江西赛区预赛 20052016 年试题及解答 2016.6 目录 2005 年第 03 页 2006 年第 08 页 2007 年第 16 页 2008 年第 24 页 2009 年第 33 页 2010 年第 38 页 2011 年第 43 页 2012 年第 50 页 2013 年第 54 页 2014 年第 60 页 2015 年第 67 页 2016 年第 73 页 第 3 页 共 79 页 二五年全国高中数学联赛江西省预赛 试题解答 2005 年 9 月 18 日上午（830-1100） 考生注意：1、本试卷共三大题（15 个小题），全卷满分 150 分 2、用钢笔

2、、签字笔或圆珠笔作答 3、解题书写不要超出装订线 4、不能使用计算器 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的 括号内。 每小题选对得 6 分； 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 （不论是否写在括号内） ， 一律得 0 分。 1设 1 ( )lg,| 1, 1 x f xx x 则 3 2 3 () 1 3 xx f x 等于（）. （A） 2( ) fx（B） 3( ) fx（C）2 ( )f x（D）3 ( )f x 答：D. 解： 3 3 2 3 32 2 3

3、 1 31 1 3 ()lg()lg()3 ( ) 31 31 1 1 3 xx xxx x ff x xxxx x . 2, a b是不等于 1 的正数， 3 (,2 ), 2 若 tantan 1ab ，则成立的是（）. （A）1ab（B）1ab（C）1ba（D）1ba 答：B. 解：tan0,由 tantan 11 ( )( )1 ab ,知 11 1,1ab ab 3ABC中，,BCa ACb ABc则使等式 2222 sinsinsincos 2222 ABCB 成立 的充要条件是（）. （A）2abc（B）2bca（C）2cab（D） 2 c ab 答：C 解：由题设知， 1 co

4、s1 cos1 cos1 cos 2222 ABCB 2sincos 22 BAC 2sinsinsin,BAC2 ,acb 反之也成立。 4 抛物线顶点在原点,对称轴为x轴， 焦点在直线3412xy上， 则抛物线方程为 （） . 第 4 页 共 79 页 （A） 2 12yx （B） 2 12yx（C） 2 16yx （D） 2 16yx 答：D 解： 由顶点在原点， 对称轴为x轴知， 抛物线方程为 2 2,ypx 在3412xy中令0,y 知焦点为（4，0）, 2 8,16 .pyx 5设3,0,kk则二次曲线 22 1 3 xy kk 与 22 1 52 xy 必有（）. （A）不同的顶

5、点（B）不同的准线（C）相同的焦点（D）相同的离心率 答：C 解： 当03,k则 22 033,1 3 xy k kk 表实轴为x轴的双曲线， 222 3.abc 二曲线有相同焦点;当0k 时，0,k 且3kk ， 22 1 3 xy kk 表 焦 点 在x轴 上 的 椭 圆 。 22 3,.ak bk 222 3abc与已知椭圆有相同焦 点。 6连结正五边形 12345 A A A A A的对角线交另一个正五边形 12345 B B B B B，两次连结正五边形 12345 B B B B B的对角线，又交出一个正五边形 12345 C C C C C （如图），以图中线段为边的三角形中，共

6、有等腰三角形()个。 （A）50（B）75（C）85（D）100 答：C. 解：对于其中任一点 P，以 P 为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为P则 1125134125134125152 6, (,)AA A AAB BAB BA A AA A BA A B. 1134125134134125125125134143 9, (,)BB A ABB BBB BBC CBB CBC BB A AB A BB A B 1134125 2, (,)CC B BC B B, 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。 据对称性可知6, 9, 2, 1,2,3,4,5 iii A

7、BCi。 因此等腰三角形共有5 (692)85 个。 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 第 5 页 共 79 页 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7设( )f x适合等式 1 ( )2 ( ),f xfx x 则( )f x的值域是。 答： 2 22 2 (,). 33 解 ： 由 1 ( )2 ( ),f xfx x 将x换 为 1 x ， 有 11 ( )2 ( )ff x xx , 两 式 消 去 1 ( )f x 得 12122 2 ( )(), |( )| 3333 f xxf xx x . 8若对满足360k的任何角, ,都有 sin(30 )sin

8、(30 ) coscos cot 2 mn ，则数组( , )m n=。 答： 3 1 ( , )(, ) 22 m n 。 解：左边 60 2sincos() 31 22 cot, 222 2sinsin 22 与右边比较得 31 ,. 22 mn 9等差数列 3，10，17，2005 与 3，8，13，2003 中，值相同的项有个。 答：58。 解：将二个数列的各项皆减 3，化为 0，7，14，2002 与 0，5，10，2000，前者为 不大于 2002 的各数中 7 的倍数，后者可看成以上范围内的 5 的倍数，故公项为 35 的倍数. 2002 158. 35 10若对所有正数, ,x

9、 y不等式xya xy都成立，则a的最小值是。 答：2。 解：由 22 ()()1.2. yyxx xyxyxyxy 当xy时取等号，故a的最 小值是2。 11若 69 222n为一个平方数，则正整数n 。 答：10。 第 6 页 共 79 页 解： 6963622 222 (12 )2324，设 22 242, n a有(24)(24)2naa，于是 有 44 242 ,242 ,224823,2 (21)23, rtrttr t aa 4,2.trt 故 6,10.rntr 12用标有 1，2，3，15，40 克的法码各一个，在某架无刻度的天平上称量重物，如果天平 两端均可放置法码，那么该

10、天平所能称出的不同克数（正整数的重物）至多有种。 答：55。 解：用 1，2，3 这三只法码，可称出区间1,6A 中的全部整克数,增加 15 克的法码后， 量程扩充了区间156,1569,21B ，再增加 40 克的法码后，量程又扩充了三个区 间： 12 406,40634,46,4021,40919,31CC， 3 40 19,4021C 49,61,但区间B与 2 C有三个整数重复，计算上述各区间内的整数个数，则得能称出的 不同克数共有 6+13+（13+13+13）-3=55 种。 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13 直角三角形ABC中，,E F分别是直角边,AB

11、AC上的任意点， 自A向,BC CE EF FB 引垂线，垂足分别是, ,M N P Q。 证明：, ,M N P Q四点共圆. 证明：, ,A E N P共圆,CNPEAPAFPA N M C 共圆， ,CNMCAM 又, ,A B M Q共 圆,MQBMAB 由, ,A P Q F共圆，得 .PQBFAP 所以 ()()MNPMQPCNMCNPMQBPQB ()()()()CAMAFPMABFAPCAMMABAFPFAP 9090180 . 故, ,M N P Q共圆. 第 7 页 共 79 页 14ABC的三条边长为, ,a b c，证明 222222 |abbcca cab . 证明：

12、由于2 sin,2 sin,2 sin,aRA bRB cRC只要证： 222222 |sinsin|sinsin|sinsin| sinsinsin ABBCCA CAB 注意： 22222222 sinsin(sinsinsin)(sinsinsin)ABAABBAB 2222 sincossincos(sincossincos)(sincossincos) sin()sin()sinsin(), ABBAABBAABBA ABABCAB 故由，只要证|sin()|sin()| |sin()|ABBCCA |sin()| |sin()()| |sin()cos()cos()sin()|CA

13、ABBCABBCABBC |sin()cos()|cos()sin()| |sin()|sin()|ABBCABBCABBC， 取等号当且仅当.ABC此时ABC为正三角形，即.abc 15试求最小的正整数, n使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是 7 的倍数. 解：首先，我们可以指出 12 个连续正整数，例如 994，995，999，1000，1001， 1005，其中任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数，因此，13n 。 再证， 任何连续 13 个正整数中， 必有一数， 其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数a， 称如下 10 个数所构成的集合:10 ,101,1

14、09 a Aaaa为一个“基本段”，13 个连续 正整数，要么属于两个基本段，要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时，据抽 屉原理，其中必有连续的 7 个数，属于同一个基本段；当 13 个连续数属于三个基本段 11 , aaa AA A 时 ， 其 中 必 有 连 续 10 个 数 同 属 于 a A. 现 在 设 110kk a aa a 110110 (1),(6) kkkk a aa aa aa a 是属于同一个基本段的 7 个数，它们的各位数字 之和分别是 000 ,1,6, kkk iii iii aaa 显然，这 7 个和数被 7 除的余数互不相同，其中必 有一个是 7 的倍数.因此，所求的最小值为13.n 第 8 页 共 79 页 二六年全国高中数学联赛 江西省预赛试卷答案及评分标准 2006 年 9 月 24 日上午（830-1100） 考生注意：1、本试卷共三大题（15 个小题），全卷满分 150 分 2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答 3、解题书写不要超出装订