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1、第24讲 直角三角形,内容索引,基础诊断 梳理自测，理解记忆,考点突破 分类讲练，以例求法,易错防范 辨析错因，提升考能,基础诊断,返回,知识梳理,1,1.直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 2.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角 ； (2)直角三角形中，30的锐角所对的直角边等于斜边的 ； (3)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 ；,互余,一半,一半,(4)勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的 .,平方,3.直角三角形的判定 (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个内角互余的三角形是直角三角形； (3)一边上的中线等于这边的一半的三角形
2、是直角三角形； (4)如果三角形的三边长a、b、c(假设c是最大边)满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，C90.这就是勾股定理的逆定理.,4.直角三角形的解答 在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角边还是斜边，则需要分类讨论.勾股定理的逆定理是把数转化为形，通过计算判定一个三角形是否为直角三角形. 实际问题中可以根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形.,1.(2015毕节)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ),诊断自测,2,1,2,3,4,
3、5,B,2.如图，RtABC中，AB9，BC6，B90，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( ),1,2,3,4,解析 设BNx，由折叠的性质可得DNAN9x， D是BC的中点，BD3. 在RtBDN中，由勾股定理得，x232(9x)2， 解得：x4，即线段BN的长为4.,C,5,3.(2015北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为( ),1,2,3,4,D,A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2km,5,1,2,3,4,4.如图，ABC中，C90，AC3，B3
4、0，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ),D,A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7,解析 在RtABC中，AC3，B30， AB2AC6， ACAPAB，即3AP6， AP长不可能是7.,5,1,2,3,4,5,5.(2016荆州)如图，在RtABC中，C90，CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC3，则DE的长为( ),A,A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,返回,解析 DE垂直平分AB， DADB，BDAB， AD平分CAB，CADDAB， C90，3CAD90，CAD30， AD平分CAB，DEAB，CDAC，,BC3，CDDE1.,
5、5,考点突破,返回,例1 (2016菏泽)如图，ACB和DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. (1)如图1，若CABCBACDECED50. 求证：ADBE；,考点一,直角三角形的性质与判定,答案,解 证明：CABCBACDECED50， ACBDCE18025080. ACBACDDCB，DCEDCBBCE， ACDBCE. ACB和DCE均为等腰三角形， ACBC，DCEC. 在ACD和BCE中，,ACDBCE(SAS)，ADBE.,求AEB的度数.,答案,解 ACDBCE，ADCBEC. 点A，D，E在同一直线上，且CDE50， ADC180CDE130，BEC13
6、0. BECCEDAEB，且CED50， AEBBECCED1305080.,答案,规律方法,答案,规律方法,证明：ACB和DCE均为等腰三角形，且ACBDCE120，,CMDE，CMD90，DMEM. 在RtCMD中，CMD90，CDM30，,BECADC18030150， AEBBECCEM15030120， BEN18012060. 在RtBNE中，BNE90，BEN60，,答案,规律方法,ADBE，AEADDE，,本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：通过角的计算结合等腰三角形的性质证出ACDBCE；找出线段AD、DE的长.本题属于
7、中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全等是关键.,规律方法,练习1,答案,(2016宁夏)在等边ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD2，过点D作DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F，求EF的长.,解 ABC是等边三角形， BACB60， DEAB，EDCBACB60， EDC是等边三角形，DEDC2， EFDE，DEF90，F30， DF2DE224，,勾股定理,考点二,例2 (2016金华)如图，RtABC纸片中，C90，AC6，BC8，点D在BC边上，以
8、AD为折痕，ABD折叠得到ABD，AB与边BC交于点E.若DEB为直角三角形，则BD的长是 .,答案,分析,规律方法,2或5,分析 RtABC纸片中，C90，AC6，BC8， AB10， 以AD为折痕，ABD折叠得到ABD， BDDB，ABAB10. 如答图1所示，当BDE90时，过点B作BFAC，垂足为F.,规律方法,答图1,分析,设BDDBx，则AF6x，FB8x. 在RtAFB中，由勾股定理得：AB2AF2FB2， 即(6x)2(8x)2102， 解得：x12，x20(舍去)，BD2. 如答图2所示，当BED90时，点C与点E重合.,答图2,规律方法,分析,规律方法,AB10，AC6，B
9、E4. 设BDDBx，则CD8x. 在RtBDE中，DB2DE2BE2， 即x2(8x)242，解得：x5， BD5. 综上所述，BD的长为2或5.,本题主要考查翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键.,规律方法,(2015株洲)如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB10，EF2，那么AH等于 .,练习2,6,答案,分析,分析 AB10，EF2， 大正方形的面积是100，小正方形的面积是4， 四个直角三角形面积和为100496，,分析,2ab96，a2b2100， (ab)2a2b22
10、ab10096196， ab14， ab2， a8，b6，即AE8，DE6， AH826.,考点三 勾股定理的逆定理,答案,规律方法,证明 连接DF，设正方形的边长为4a， 则AEBE2a，BFa，则CF3a. 在RtADE中，DE2AD2AE216a24a220a2， 在RtBEF中，EF2BE2BF24a2a25a2， 在RtDCF中，DF2DC2CF216a29a225a2， DE2EF2DF2， DEF是直角三角形，且DEF90， 即DEEF.,规律方法,在解题时要重视勾股定理及逆定理结构的剖析，正确理解和应用定理，适时提高理解能力，灵活处理定理应用的条件，理解题意，找到合适的条件建立
11、勾股定理及逆定理的应用模型.本题证明线段DE与EF垂直，可以证明DEF是直角三角形，自然联想到勾股定理逆定理.,规律方法,练习3,答案,已知，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四边形ABCD的面积.,解 连接AC，在RtABC中，,在ACD中， AC2CD252122169，AD2132169， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形， ACD90，,返回,易错防范,返回,易错警示系列 24,三角形的高线可能在三角形外,试题 在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度数.,错误答案展示 解：如图1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90，
12、CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHDACD，BDAD. ADB90，ABC45.,图1,正确解答,分析与反思,剖析,剖析 在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况.本题错解的主要原因就是忽视了这里的ABC有两种情况，一种情况ABC是锐角，另一种情况ABC是钝角，应该进行分类讨论.,正确解答 解：这里的ABC有两种情况，ABC是锐角(图1)或ABC是钝角(图2). 如图2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH，DHBDCA， ADDB，DBA45， ABC135. 综上所述，ABC45或135.,图2,分析与反思 同学们都知道，三角形的高有可能在形外，但在实际解题中，常因忽略这一点而造成错误.为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势，一画三角形就不由自主地画成锐角三角形，从而造成漏解的失误.,返回,
